【正文】 （ 1） 。4 9 , .nncc??? ? ??當(dāng) 為 奇 數(shù) 時 則 數(shù) 列當(dāng) 為 偶 數(shù) 時是公差為 8的準(zhǔn)等差數(shù)列 .設(shè)數(shù)列 ??na 滿足： 1aa? ，對于 nN?? ，都有 1 2nna a n???. （ I）求證： ??na 為準(zhǔn)等差數(shù)列； （ II）求證： ??na 的通項公式及前 20 項和 【解析】 解：（Ⅰ） naa nn 21 ?? ?? （ ??Nn ） ① ∴ )1(221 ??? ?? naa nn ② ② ① ，得 22 ??? nn aa （ ??Nn ）． 所以， ??na 為公差為 2 的準(zhǔn)等差數(shù)列． ??????? 4分 （Ⅱ）又已知 aa?1 ， naa nn 21 ?? ? ( ??Nn ),∴ 1221 ???aa ,即 aa ??22 . 所以 ,由（Ⅰ） ?, 531 aaa 成以 a 為首項 ,2為公差的等差數(shù)列 , ?, 642 aaa 成以 a?2 為首項 ,2為 公差的等差數(shù)列 ,所以 當(dāng) n 為偶數(shù)時， annaa n ????????? ???? 2122， 當(dāng) n 為奇數(shù)時， 12121 ?????????? ???? annaa n. ??? ? ???? ., ,1 為偶數(shù)　 為奇數(shù)nan nana n ??????? 9分 20S? nnn aaaaaaS ??????? ?14321 ?19 20aa )()()( 14321 nn aaaaaa ??????? ??( 19 20aa? ) )1(23212 ???????? n?19 = (1 19) 102 2022????. ???????12分 41 15．（本小題滿分 12分） 已知數(shù)列 ??na 的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)1 2 4 7, , , ,a a a a ???構(gòu)成等差數(shù)列 ??nb , nS 是 ??nb 的前 n項和，且 1 1 51, 15b a S? ? ? ( I )若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知 9 16a? ，求 50a 的值； (Ⅱ )設(shè) 1 2 21 1 1nn n nT S S S??? ? ? ????，求 nT ． 【解析】 （本小題滿分 12分） 解：（Ⅰ） {}nb 為等差數(shù)列，設(shè)公差為 1 5 5, 1 , 15 , 5 10 15 , 1d b S S d d? ? ? ? ? ? ? 1 ( 1) 1 .nb n n? ? ? ? ? ? ??????????????????? ????????? 2分 設(shè)從第 3行起，每行的公比都是 q ，且 0q? ， 2294 , 4 16 , 2 ,a b q q q? ? ?????????4分 1+2+3+? +9=45，故 50a 是數(shù)陣中第 10 行第 5個數(shù)， 而445 0 1 0 10 2 16 b q? ? ? ??????????????????????????? 7分 （Ⅱ） 12nS ? ? ? ? ( 1),2nnn ??? ??????????????????????8分 1211nnnT SS??? ? ? ?? 21nS? 22( 1 )( 2 ) ( 2 )( 3 )n n n n? ? ?? ? ? ?? 22 (2 1)nn? ? 42 1 1 1 12( 1 2 2 3n n n n? ? ? ? ?? ? ? ?? 11)2 2 1nn??? 1 1 22 ( ) .1 2 1 ( 1 )( 2 1 )nn n n n???? ? ? ?? ?????????????????????? 12分 16．（本題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {}na 為公差不為 0 的等差數(shù)列， nS 為前 n 項和， 5a 和 7a 的等差中項為 11，且 2 5 1 14a a a a? ? ? ．令 11 ,nnnb aa?? ? 數(shù)列 {}nb 的前 n 項和為 nT ． （Ⅰ）求 na 及 nT ； （Ⅱ）是否存在正整數(shù) 1, (1 ) , , ,mnm n m n T T T?? 使 得成等比數(shù)列？若 存在，求出所有的,mn的值；若不存在，請說明理由． 43 22224 4 1 6 3 3 4 1 2m m n m mm n n m? ? ? ? ?? ? ? ?。 7．在等比數(shù)列 {an}中， 1234,na a a?? 解析： (1)由 121 ()3n n na a a????得 1 1 22 ()3n n n na a a a? ? ?? ? ? ? ( 3)n? 又 2110aa? ? ? ， ?數(shù)列 ? ?1nnaa? ? 是首項為 1 公比為 23? 的等比數(shù)列，11 23nnnaa?? ??? ? ????? 1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 31 222 2 2113 3 3n ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11218 3 2312 5 5 313nn????????????? ? ? ? ??????， 由122221111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 2 1b?? ，由233331111,0bbbb Z b? ? ? ???? ? ?????? 得 3 1b? ，? 同理可得當(dāng) n 為偶數(shù)時， 1nb?? ；當(dāng) n為奇數(shù)時， 1nb? ；因此11n nb n?? ??? 為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) (2)118 3 25 5 38 3 25 5 3nn n n nn n nc na bn n n??? ??????? ? ??? ???? ?? ??? ???為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) 1 2 3 4nnS c c c c c? ? ? ? ? ? 當(dāng) n為奇數(shù)時， 0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3nnS n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 0 1 2 3 141 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 當(dāng) n為偶數(shù)時 0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3nnS n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???0 1 2 3 14 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3nn n ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 令0 1 2 3 12 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3nnTn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??① ① 23 得 : 1 2 3 42 2 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 3nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??② ① ②得 : 1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3nnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 ? ?21223 332 3313nnnnn??? ??? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?29 9 3 3 nnTn??? ? ? ???? 因此? ?? ?934 23 25 5 3934 27 25 5 3nn nnnSnn? ?? ???? ??? ? ?? ??? ??? ????? ??? 【最新模擬】 ??na 的公比為正數(shù)，且 2 6 4 29 , 1a a a a? ? ?，則 1a 的值為 B. 3? C. 13? 【 答案 】 D. 【解析】 由 462 9aaa ?? ，得 422 2 29a a q a q??，解得 2 9q? ，所以 3q? 或 3q??（ ,0?q? 舍），所以 2113aa q??. 2．兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且僅有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如表格所示，則下列座位號碼符合要求的是 A． 48， 49 B． 62， 63 C． 84， 85 D． 75， 76 【答案】 C 【解析】根據(jù)座位排法可知，做在右窗口的座位號碼應(yīng)為 5 的倍數(shù)，所以 C符合要求。數(shù)列 {}nb 滿足 1 1, ( 2, 3, )nb b n??是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù) m 和自然數(shù) k ，都有 111m m m kb b b??? ? ? ? ? ?。海南寧夏卷文 13)已知 {an}為等差數(shù)列， a3 + a8 = 22， a6 = 7，則 a5 = ____________ 答案：１５ 解析：由于 ??na 為等差數(shù)列，故 3 8 5 6a a a a? ? ? ∴ 5 3 8 6 22 7 15a a a a? ? ? ? ? ? 4.(2022 A. 2 B. 4 C. 152 D. 172 答案： C 解 析 ：? ?4142112151222aSaa?????。廣東卷文 4)記等差數(shù)列的前 n 項和為 nS ，若 244, 20SS??，則該數(shù)列的公差 d? ( ) A、 2 B、 3 C、 6 D、 7 解 析 ： 422 4 1 2 3S S S d d? ? ? ? ? ?,選 B. 30 2． (2022 浙江，文 16)設(shè)等差數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，則 4S ， 84SS? ， 12 8SS? ，16 12SS? 成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列