【正文】 一個單位的晚餐含 8 個單位的碳水化合物， 6 個單位的蛋白質和 10 個單位的維生素 ，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含 64 個單位的碳水化合物和 42 個單位的蛋白質和 54 個單位的維生素 C. 如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是 元和 4 元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且 花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？ 解：設為該兒童分別預訂 x 個單位的午餐和 y 個單位的晚餐，設費用為 F，則 F yx ?? ，由題意知： 64812 ?? yx 4266 ?? yx 54106 ?? yx 0,0 ?? yx 畫出可行域： 變換目標函數(shù)： 485 Fxy ??? 。 。 三、解答題 1.（ 2022 廣東理） 19.（本小題滿分 12 分） 某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐。 【答案】 27 【解析】考查不等式的基本性質，等價轉化思想。則圖中線段 OD 的長度是 a， b 的算術平均數(shù)，線段 的長度是 a,b 的幾何平均數(shù)，線段 的長度是 a,b 的調(diào)和平均數(shù)。連結 OD， AD， BD。如圖， C 為線段 AB 上 的點，且 AC=a， CB=b， O 為 AB 中點，以 AB為直徑做半圓。所以 ab? 的最小值為 4. 【規(guī)律總結】 線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點的值是目標函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點坐標代入得 4ab? ，要想求 ab? 的最小值，顯然要利用基本不等式 . 15.（ 2022 湖北理） 2z x y??，式中變量 x ， y 滿足約束條件,1,2,yxxyx????????? ，則 z 的最。 【答案】 5 【解析】同理科 12.（ 2022 山東理） 13.（ 2022 安徽理） 14. （ 2022 安徽理） 13 、設 ,xy滿 足 約 束 條 件2 2 08 4 00 , 0xyxyxy? ? ???? ? ?????? ， 若 目 標 函 數(shù)? ?0 , 0z ab x y a b? ? ? ?的最大值為 8，則 ab? 的最小值為 ________。 【答案】 3 9.（ 2022 全國卷 1 文） (13)不等式 2 2 032xxx??? 的解集是 . 【答案】 ? ?2 1, 2x x x? ? ? ? ?或 【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法 【解析】 : 2 2 032xxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 2 2 1 021x x x xxx ?? ? ? ? ? ? ???，數(shù)軸標根得：? ?2 1, 2x x x? ? ? ? ?或 10.（ 2022 全國卷 1 理） (13)不等式 22 1 1xx? ? ? 的解集是 . 11.（ 2022 湖北文） ： 2,xy? 式中變量 ,xy滿足的束條件,1,2yxxyx????????? 則 z 的最大值為。 6.（ 2022 浙江文）（ 15）若正實數(shù) X， Y 滿足 2X+Y+6=XY ， 則 XY 的最小值是 。 【解析】畫出不等式組1423xyxy? ? ? ??? ? ? ??表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線 z=2x3y，當直線經(jīng)過 xy=2 與 x+y=4 的交 點 A（ 3， 1）時，目標函數(shù)有最小值 z=2 33 1=3；當直線經(jīng)過 x+y=1與 xy=3 的焦點 A（ 1， 2）時，目標函數(shù)有最大值 z=2 1+3 2=8. 。 二、填空題 1.（ 2022 上海文） 2 04xx? ?? 的解集是 。 第 27 頁 24.（ 2022 福建理） 8．設不等式組x1x2y+3 0yx???????? 所表示的平面區(qū)域是 1? ,平面區(qū)域是 2? 與 1? 關于直線 3 4 9 0xy? ? ? 對稱 ,對于 1? 中的任意一點 A 與 2? 中的任意一點 B, ||AB 的最小值等于 ( ) A． 285 B． 4 C． 125 D． 2 【答案】 B 【解析】由題意知，所求的 ||AB 的最小值，即為區(qū)域 1? 中的點到直線 3 4 9 0xy? ? ? 的距離的最小 值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示， 可看出點（ 1， 1）到直線 3 4 9 0xy? ? ? 的距離最小，故 ||AB 的最小值為 。 第 25 頁 0xy?? 1 O yx? y 20xy? ? ? x A 0 : 2 0l x y??L0 2? 2 A c=12 1 1 15254? ? ? ?，∴ cab 18.（ 2022 全國卷 1 文） (3)若變量 ,xy滿足約束條件1,0,2 0,yxyxy???????? ? ?? 則 2z x y?? 的最大值 為 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 答案 B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力 . 【解析】畫出可行域（如右圖）， 112 22z x y y x z? ? ? ? ?，由圖可知 ,當直線 l 經(jīng)過點 A(1,1)時， z 最大，且最大值為 m ax 1 2 ( 1) 3z ? ? ? ? ?. 19.（ 2022 全國 卷 1 理）（ 8）設 a= 3log 2,b=ln2,c= 125? ,則 （ A） abc （ B） bca （ C） cab （ D） cba 20.（ 2022 全國卷 1 理） 21.（ 2022 四川文） （ 11）設 0a＞ b＞ ，則 ? ?2 11a ab a a b?? ?的最小值是 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 。 第 23 頁 y 0 x 70 48 80 70 (15,55) 當直線過點 B（ 3,0）的時候， z 取得最大值 6 12.（ 2022 北京理）（ 7）設不等式組 11 03 3 05 3 0xyxyx y 9? ? ???? ? ???? ? ?? 表示的平面區(qū)域為 D，若指數(shù)函數(shù) y= xa的圖像上存在區(qū)域 D 上的點，則 a 的取值范圍是 （ A） (1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ?? ] 答案： A 13.（ 2022 四川理）（ 12）設 0abc? ? ? ，則 22112 1 0 2 5()a a c ca b a a b? ? ? ??的最 小值是 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 25 （ D） 5 解析： 22112 1 0 2 5()a a c ca b a a b? ? ? ?? ＝ 2211( 5 ) ()a c a a b a b a b a a b? ? ? ? ? ? ? ＝ 211( 5 ) ( ) ()a c a b a a ba b a a b? ? ? ? ? ? ? ≥0＋ 2＋ 2＝ 4 當且僅當 a－ 5c＝ 0,ab＝ 1,a(a－ b)＝ 1 時等號成立 如取 a＝ 2 ,b＝ 22 ,c＝ 25 滿足條件 . 答案： B 14.（ 2022 四川理）（ 7）某加工廠用某原料由甲車間加工出 A 產(chǎn)品，由乙車間加工出 B 產(chǎn)品 .甲車間加工一箱原料需耗費工時 10 小時可加工出 7 千克 A 產(chǎn)品，每千克 A 產(chǎn)品獲利 40 元，乙車間加工一箱原料需耗費工時 6 小時可加工出 4 千克 B 產(chǎn)品，每千克 B 產(chǎn)品獲利 50 元 .甲、乙兩車間每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超 過 480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為 （ A）甲車間加工原料 10 箱，乙車間加工原料 60 箱 （ B）甲車間加工原料 15 箱，乙車間加工原料 55 箱 （ C）甲車間加工原料 18 箱，乙車間加工原料 50 箱 （ D）甲車間加工原料 40 箱，乙車間加工原料 30 箱 答案： B 解析：設甲車間加工原料 x 箱，乙車間加工原料 y 箱 。 【規(guī)律總結】線性規(guī)劃問題首先作出可行域 ，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點的值是目標函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點坐標代入目標函數(shù)即可求出最大值 . 。 或者選擇 x=1 和 x=1,兩個檢驗進行排除。 第 21 頁 4.（ 2022 全國卷 2 文） (5)若變量 x,y 滿足約束條件13 2 5xyxxy?????????? 則 z=2x+y 的最大值為 （ A） 1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】 C：本題考查了線性規(guī)劃的知識。 第 20 頁 綜合①②，（ 2）得證。( ) 0 , ( ) (1, )f x f x? ??在內(nèi)是減函數(shù)； 故函數(shù) ( ) 1f x x?在 處取得最大值 (1) ? 。( ) 1 0 , 1 .f x xx? ? ? ?解 得 當 0 1 , 39。 21.（湖北理 21） （Ⅰ）已知函數(shù) ( ) 1f x Inx x? ? ?， (0, )x? ?? ，求函數(shù) ()fx的最大值； （Ⅱ）設 ,kkab( 1,2k? …， )n 均為正數(shù)，證明： （ 1）若 1 1 2 2ab a b??… nnab ? 12bb??… nb ，則 12 1nkkk na a a ? ； （ 2）若 12bb??… nb =1，則 1n ? 121 2 2 22 1 2 .nkkk nnb b b b b b? ? ? ? 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎知識，同時考 查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉化的思想。 所以，當 100 , ( )x f x? 時 在區(qū)間 [20， 200]上取得最大值 綜上，當 100x? 時， ()fx在區(qū)間 [0， 200]上取得最大值 10000 33333 ? 。（滿分12 分） 解：（Ⅰ）由題意：當 0 2 0 , ( ) 6 0x v x? ? ?時 ；當 20 200 , ( )x v x ax b? ? ? ?時 設 再由已知得1 ,2 0 0 0 , 32 0 6 0 , 2 0 0 .3aabab b? ?????? ?????? ? ???解 得 。當橋上的的車流密度達到200 輛 /千米時，造成堵 塞，此時車流速度為 0；當車流密度不超過 20 輛 /千米時，車流速度為60 千米 /小時，研究表明；當 20 200x?? 時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數(shù)． （Ⅰ）當 0 200x?? 時，求函數(shù) ??vx的表達式 。 第 17 頁 ,)(1)(111 2xyxyyxxyxyyxxyyx ??????????? 將上式中的右式減左式，得 ,0)1)(1)(1(,1,1).1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22????????????????????????????????yxxyyxyxxyyxxyxyxyyxxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy所以即然 從而所要證明的不等式成立 . （ II）設 ,lo g,lo g ycxb ba ?? 由對數(shù)的換底公式得 .l og,1l og,1l og,1l og xycybxaxya acbc ???? 于是，所要證明的不等式即為 ,111 xyyxxyyx ????? 其中 .1lo g,1lo g ???? cybx ba 故由（ I）立知所要證明的不等式成立 . 20.（湖北理 17） 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。 【答案】 0x? 或 12x? 17.（廣東理 9）不等式 1 3 0xx? ? ? ?的解集是 ． 【答案】 [1, )?? 18.（江蘇 14）設集合 },)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA ?????? , },122|),{( RyxmyxmyxB ?????? , 若 ,???BA 則實數(shù) m 的取值范圍是______________ 【答案】 ]22,21[ ? 三、解答題 19.（安徽理 19） （Ⅰ）設 1, 1,xy??證明 。 【答案】 2022 14.（浙江理 16）設 ,xy為實數(shù)，若