【正文】 證明：略 例 已知：∠ CAE是三角形 ABC的外角 , ∠ 1=∠ 2， AD∥ BC 。求證： BF=DE 分析：觀察圖形， BF和 DE分別在△ CFB和△ AED（或△ ABF和△ CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個(gè)三角形全等。 例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。 逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線 被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。 定理 3：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長相交。 定理 1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。 十二、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱軸。 十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 的等腰三角形是等邊三角形 推論 3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 3O176。（簡寫成 ―等角對(duì)等動(dòng) ‖）。 推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于 60176。 也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。 作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。 作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等（ SSS），從而得到對(duì)應(yīng)角相等； 平分已知角：作法仍是使三角形全等（ SSS）．從而得到對(duì)應(yīng)角相等。 一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等 ‖就沒逆定理，因?yàn)?―相等的角是對(duì)頂角 ‖這是一個(gè)假命顆。 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定 理。 由定理 2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。 直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成 ―斜邊，直角邊 ‖或 ―HL‖） 六、角的平分線 定理 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成 ―角邊角―或 ―ASA‖） 推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成 ―角角邊 ’域―AAS‖） 邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成 ―邊邊邊 ‖或 ―SSS‖） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。 ∠ A， ∠ B， ∠ C的對(duì)應(yīng)角是 ∠ A`、 ∠ B`、 ∠ C`。 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。 例如圖 2— 6 中 ∠ 1 ＞∠ 3；∠ 1=∠ 3＋∠ 4；∠ 5＞∠ 3＋∠ 8；∠ 5＝∠ 3＋∠ 7＋∠ 8； ∠ 2＞∠ 8；∠ 2＝∠ 7＋∠ 8；∠ 4＞∠ 9；∠ 4＝∠ 9＋∠ 10 等等。 推論 2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論 1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 ＝ 50176。 –90176。 ，∠ B＝ 40176。 由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。 例如三條線段長分別為 5， 6， 1 人因?yàn)?5＋ 6＜ 12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。 三角形接邊相等關(guān)系來分類： 三角形????????等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰等腰三角形不等邊三角形三角形 用集合表示，見圖 2－ 4 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 三、三角形三條邊的關(guān)系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離） 三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離） 3．三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。證時(shí)：略 規(guī)律總結(jié) ]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。 [思路分析 ]我們知道只有周角是等于 360176。解：略 [規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們?cè)跀?shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為 x，則它的余角為 90 – x 。 方法 3：用代數(shù)法求角度 例 已知一個(gè)銳角的余角，是這個(gè)銳角的補(bǔ)角的 61 ，求這個(gè)角。即：∠ AOC、∠ AOD、∠ AOE、∠ COD、∠ COE、∠ COB、∠ DOE、∠ DOB、∠ EOB 共 9 個(gè)角。 [規(guī)律總結(jié) ]此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)， 再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段。 方法 2：如何辨別角的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)。 [思路分析 ]由 D 是 CB 中點(diǎn)， DB 已知可求出 CB，再由 C 點(diǎn) 是 AB 中點(diǎn)可求出 AB 長，用 AB 減減去 DB 可求 AD。 例題： 方法 1：利用特殊“點(diǎn)”和線段的長 例 已知：如圖 1－ 3， C 是線段 AB 的中點(diǎn)， D 是線段 CB 的中點(diǎn)， BD＝ 。 注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時(shí)，這兩個(gè)角相等。 說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理。 （ 2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 （ 3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。 平行線的判定： （ 1）同位角相等，兩直線平行。 平行公理的推論： 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 十三、平行線 定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。 十二、距離 兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線 段的長度叫做兩點(diǎn)的距離。 （ 2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。 垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。它們的交點(diǎn)叫做斜足。 同角或等角的補(bǔ)角相等。 十、角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等。 鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長線的兩個(gè)角做互為鄰補(bǔ)角。 互為補(bǔ)角：如 果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做互為補(bǔ)角。 （ 6）周角、平角、直角的關(guān)系是： l 周角 =2 平角 =4 直角 =360176。 八、角的分類： （ 1）銳角：小于直角的角叫做銳角 （ 2）直角：平角的一半叫做直角 （ 3）鈍角：大于直角而小于平角的角 （ 4）平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時(shí)，所成的角叫做平角。把一個(gè)圓周分成 360 等份，每一份叫做一度的角。 2．角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角， 這條射線叫做這個(gè)角的平分線。另一種是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。 表示法： ∵ AB＝ BC ∴點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn) 或∵ AB＝ 21 MAC ∴點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn)，或∵ AC＝ 2AB，∴點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn) 反之也成立 ∵點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn)，∴ AB＝ BC 22 或∵點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn)， ∴ AB= 21 AC 或∵點(diǎn) B 為 AC 的中點(diǎn)， ∴ AC=2BC 六、角 角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。 線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。 2．射線的特征 ：“向一方無限延伸，它有一個(gè)端點(diǎn)。 二、直線的性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分組。 例 到從某學(xué)校 3600 人中抽出 50 名男生，取得他們的身高（單位 cm） ，數(shù)據(jù)如下：181 181 179 177 177 177 176 175 175 175 175 174 174 174 174 173 173 173 173 172 172 172 172 172 171 171 171 170 170 169 l69 168 167 167 167 166 l66 l66 166 166 165 165 165 163 163 162 161 160 158 157 計(jì)算頻率，并畫出頻率分布直方圖 上指出身高在哪一組內(nèi)的男學(xué)生人數(shù)所占的比最大 3．請(qǐng)估計(jì)這些初三男學(xué)生身高在 166． 5cm 以下的約有多少人？ 解： 各組頻率依次是： ， ， ， ， 21 從頻率分布表（或圖）中，可見身高在 — 組內(nèi)男學(xué)生人數(shù)所占的比最大。 （ 4）從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績高于 80 分的人數(shù)為 20 人，乙組成績高于 80 分的人數(shù)為 24 人，所以，乙組成績集中在高分段的人數(shù)多，同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多 6 人，從這一角度看，乙組的成績較好。 （ 2）算得 2甲S =172， 2562 ?乙S 所以甲組成績較乙組波動(dòng)要小。解：略 ［規(guī)律總結(jié)］求平均數(shù)有三種方法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散時(shí)，一般用平均數(shù)的概念來求；著所給數(shù)據(jù)較大且都在某一數(shù) a 上下波動(dòng)時(shí)，通常采用簡化公式；若所給教據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，通常采用加權(quán)平均數(shù)公式來計(jì)算。 研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是： （ 1）計(jì)算最大值與最小值的差；（ 2）決定組距與組數(shù)；（ 3）決定分點(diǎn)；（ 4）列領(lǐng)率分布表；（ 5）繪頻率分布直方圖。 所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于 1。 圖中每個(gè)小長方形的高等于該組的頻率除以組距。 （ 4）頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。各個(gè)小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù) n。 四、頻率分布 有關(guān)概念 （ 1）分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組稱為分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在 100 個(gè)以內(nèi)時(shí)，通常分成 5－ 12 組。 標(biāo)準(zhǔn)差：方差（ 2S ）的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差（ S）。 三、反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)： 方差： （ l） nxxxx , 321 ? 的方差， n xxxxxxS n 222212 )()()( ??????? ? （ 2）簡化計(jì)算公式： 2222212 xn xxxS n ????? ?（ nxxxx , 321 ? 為較小的整數(shù)時(shí)用這個(gè)公式要比較方便） 19 （ 3）記 nxxxx , 321 ? 的方差為 2S ，設(shè) a 為常數(shù)， axaxaxax n ???? , 321 ?的方差為 2`S ，則 2S = 2`S 。 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 。 二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù) 平均數(shù) （ 1） nxxxx , 321 ? 的平均數(shù)， )(121 nxxxnx ???? ? （ 2）加權(quán)平均數(shù)：如果 n 個(gè)數(shù)據(jù)中， 1x 出現(xiàn) 1f 次， 2x 出現(xiàn) 2f 次，??， kx 出現(xiàn) kf 次（這里 nfff k ???? ?21 ），則 )(12211 kk fxfxfxnx ???? ? （ 3）平均數(shù)的簡化計(jì)算： 當(dāng)一組數(shù)據(jù) nxxxx , 321 ? 中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都與常數(shù) a 接近時(shí)，設(shè)axaxaxax n ???? , 321 ?的平均數(shù)為 39。解：略 例 已知 a， b是常數(shù)