【正文】 從而， 2 66。 令 由于 ， 所以， ， 因此， 。 （收斂半徑為 1） 又因為級數(shù) 在 處收斂，且 在 處連續(xù)， 所以， 。 28*. 解 : 見習題十中的題 12。 當 且 時，此級數(shù)為 。 1111 當 且 時，此級數(shù)為 。 (3) 當 時，由于 ，且級數(shù) 在 時收斂，因此，此級數(shù)當 時，由于 |k 在 時絕對收斂。 nx 1 當 時，由于 發(fā)散，所以，此級數(shù)在 時非絕對收 n1 斂；又由于此級數(shù)是交錯級數(shù)，且 單調(diào)遞減趨于零，因此，此級數(shù)在時 n 當 時，由于 條件收斂。 在 (2) 當 時，由于 ，因此，此級數(shù)在 時發(fā)散。 ， 且 級 數(shù) 發(fā)散，由于 ，而 所以，級數(shù) 在 時非絕對收斂；又因為級數(shù) 為交 錯級數(shù)，且 在 時單調(diào)遞減趨于零，因此，級數(shù)時條件收斂。即此級數(shù)在 時條件收斂。 當時，此級數(shù)為 。 由于級數(shù) 收斂，所以，由 解得 ； 33 又由于 q0，因此， q的取值范圍為 27*. 1。 26*. 解 : 令 ，則此級數(shù)變?yōu)閮缂墧?shù) 。 由于，且級數(shù)收斂， 因此，此級數(shù)收斂。 從而 33 25*. 解： (1) 由于 而級數(shù) ， 且 級 數(shù) 發(fā)散， 因為 n 63 因此，級數(shù) 發(fā)散。 。 令 ， 則 從而 因此 。 所以， 。 從而， ， ， 所以，當 且 時， ； 當 時，顯然有 ； 當 時， 且 故 (2) 顯然，級數(shù) 的收斂區(qū)間為（ 1， 1）。 23. 解： (1) 顯然，級數(shù) 的收斂區(qū)間為 [1， 1]。 (2) 由于 x， x2， ， ， ，所以， 。 22. 解： (1) 由于 ， ， ， ， ； 從而， f( 。 2 20. 解 : 由于 所以， 即 。 60 1 ， 。 59 (3) 由于 ，所以，當 時， xn (4) 由于 所以， (5)由于 所以， 1 即 因此， 即 （收斂半徑為1） （收斂半徑為 1）。 18. 解： (1)由于 所 以 ， （ 收 斂 半 徑 為 1 ） 又因為級數(shù) 在 均收斂，且 在 均連續(xù)，因此， 。 xn ，所以，此級數(shù)在 時發(fā)散；當 當 時，由于 時，由于通項為 ，所以，此級數(shù)在 時發(fā)散； 2 ，所以，此級數(shù)在當 時，由于 時收斂。 ，由于 lim|（ ） 所以，此級數(shù)發(fā)散，即此級數(shù)收斂域為空集。故此級數(shù)收斂區(qū)間為 。 所以，級數(shù) 的收斂區(qū)間為 。 1 對于級數(shù) ，由于，所以， 。 故此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 因此，級數(shù) 對于級數(shù) ，當 時 ， 級 數(shù) 為 ， 是 收 斂 級 數(shù) 。 令 ，此級數(shù)變?yōu)?。所以，此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 1 ，所以， 。 57 由于 ，所以， 。 當 時，級數(shù)為 ，是發(fā)散級數(shù)；當 時，級數(shù)為 ，是收 斂級數(shù)。故此級數(shù)收斂區(qū)間為 。所以， yn 級數(shù) 的收斂區(qū)間為 [1,1]。 1 對于級數(shù) ，由于 ，所以， 。 16. ， ， 證明 : 由于 所以， , (c1，常數(shù) )， 0(c1，常數(shù) )。 56 顯然， ，而 是絕對收斂的級數(shù)，故級數(shù) 收斂 , 級數(shù) 也收斂。 2 n 與 2 n 收斂，又有 2n2 n成立，故 nn 絕對 1 (4) 由級數(shù) 收斂，以及級數(shù) 收斂，根據(jù) (3)知，級數(shù) 2 un 收斂。 (2) 由 an≥0，且數(shù)列 {nan} 有界，故存在固定常數(shù) c，使得 ，從而 c21 ，而級數(shù) 收斂，故級數(shù) n 2 n 收斂。 14. 證明 : (1)證明過程見習題十中的題 1（ 8）。 13. 55 xn 證明 : 當 時，顯然級數(shù) 絕對收斂； 2n xn|x|nnn 當 時，由于 |，而級數(shù)在 時收斂，從而級 xn 數(shù) 在 時絕對收斂； 2n xn1n|x|n1n | 當 時，由于 |，而級數(shù) ||在 時收斂，從而 xn 級數(shù) 在 時絕對收斂。 11. annan ，故此級數(shù)在 時解 : 當 時，由于 n 發(fā)散； 當 時，由于 ，故此級數(shù)在 時收斂。又，這是一個交錯級數(shù)。故此級數(shù)絕對收斂。 n ，所以，當 (13) 由于 ，而 lim np 54 時，此級數(shù)絕對收斂；當 時，此級數(shù)發(fā)散；當 且 時，此級數(shù)絕 對收斂；當 且 時，此級數(shù)發(fā)散；當 且 時，此級數(shù)條 件收斂。故此級數(shù) ， 因 為 級 由于，而 lim ()n3 數(shù) 收斂，說明級數(shù) 收斂。 (11) 由于 絕對收斂。又，這是一個交錯級數(shù)。由于 斂。 由于 |，而級數(shù)發(fā)散，所以，此級數(shù)非 絕對收斂。故此級數(shù)絕對收斂。由于 (7) 由于 2 單調(diào)遞減趨于零，故此級數(shù)條件收斂。 53 222 (6) 由于 ，而級數(shù) 發(fā)散，所以，此級數(shù)非絕對收斂。 (4) 由于1n (5) 由于 ，所以， 不存在。 n 由于 | ， 而級 數(shù) 收斂， 故此級 數(shù) 絕對收 斂。由于 單調(diào)遞減趨于零，故此級數(shù)條件收斂。 解： (1) 顯然， 發(fā)散，所以，此級數(shù)非絕對收斂。 (12) 由于 ， ，說明此級數(shù)在 時收斂； 所以，當 時，lim 當 時， ，說明此級數(shù)在 時收斂； 當 時， lim 故此級數(shù)收斂。 ，而級數(shù) 收斂，故此級數(shù)收斂。 n ， 故 此 級 數(shù) 發(fā) 散 。 由于 ， 而 級 數(shù) 收斂，故此級數(shù)收斂。 n ， 故 此 級 數(shù) 收 斂 。 由于，所以，級數(shù) 收斂；而級數(shù) 發(fā)散，故此級數(shù)發(fā)散。 (9) 由于 ，故此級數(shù)收斂。 2n1(7) 由于 ，故此級數(shù)收斂。 10n(4) 由于 (5) 見練習 1（ 1）。 (3) 由于 ，故此級數(shù)發(fā)散。 n22 解： (1) 由于 ， 故 此 級 數(shù) 發(fā) 散 。 (5) 由于 2n2，而級數(shù) 收斂，故此級數(shù)收斂。 (3) 由于 ，而級數(shù) 發(fā)散，故此級數(shù)發(fā)散。 bnbn 7. 解 : (1) 由于 ，而級數(shù) n收斂，故此級數(shù)收斂。 (5) 由于 ，故此級數(shù)發(fā)散。 n) (3) 由于此級數(shù)是兩個收斂級數(shù)的代數(shù)和，故此級數(shù)收斂。 5. 解 : 通項 所以，這個級數(shù)為： 6. 解 : (1) 由于 ， 故此級數(shù)發(fā)散。 (2) 由于 由于 ， 49 所以， lim111 。 2，所以， 。 ，所以， 。 (17) 錯誤。 (16) 錯誤。 正確。 (14) 錯誤。 (13) 正確。 (12) 正確。 (11) 錯誤。 (10) 錯誤。 (9) 錯誤。 (8) 錯誤。 (7) 錯誤。 (6) 正確。 48 (5) 錯誤。 (4) 錯誤。 (3) 正確。 (2) 錯誤。 02022 3. 解： (1) 錯誤。 (7) 答案為 。 因而 (6) 答案為 。 x (5) 答案為 。所以，級數(shù) 1 ，解得 。當 時，級數(shù)為 ，是發(fā)散級數(shù)；當 時，級數(shù)為 ，是發(fā) n的收斂區(qū)間為 。解答如下： 令 ，原級數(shù)變?yōu)?。解答如下? 由于級數(shù) 收斂，且級數(shù) 收斂，所 以級數(shù) 收斂，從而 。解答如下： （ u1 ） 。解答如下： ，即 。理由如下： 由于 ， 故所選答案為 C。故所選答案為 D。 n (19) 答案為 D。 n 4