【正文】 }2)(]){ [ (2]})[()(]){ [ (2|})(]){ [ (2}][]){ [ (2}|]){ [ (2])([)(])([))(,(21222122212221220212221220212221220021222322002023222ahRaRahGaahRaRahGrarahGr d rrarahGr d rrazGdzazrazr d rdGdvazyxazzyxGFRRRhhRz???????????????????????????????????????????????????????????????????? 習(xí)題 31 計(jì)算下列第二類曲線積分： （ 1） ? ?L dxyx ,)(22L 為拋物線 xy ?2 上由點(diǎn)（ 0,0）到點(diǎn)（ 2,4）的一段弧； （ 2） ,)()(22? ? ???L yx dyyxdxyxL為按逆時(shí)針方向饒行的圓 222 ayx ?? ； （ 3） ? ??L xdzzdyydx ,L為螺旋線 btztaytax ??? ,s in,c o s 上由 t=0到 t=2? 的有向弧段 。 解：以圓柱下底面的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以轉(zhuǎn)動(dòng) 軸為 z 軸建立坐標(biāo)系，設(shè) P(x， y， z)為圓柱體上一點(diǎn)，則此點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為 22 yxr ?? ，因此 40220022221)(),(har d rrddzdvyxdvzyxrI ahz??? ??????? ??????????? 解：設(shè) P(x,y,z)為彈簧上一點(diǎn)，則 P 到 Z 軸的距離為 22 yxr ?? ，因此有 )43(32|)31()(),(32222220322222202222222?????kakaatktakaadtkatkaadszyxrI Lz?????????????? ?? 解：有對(duì)稱性知道 Fy=0。 （ 2）容易知道此幾何體是兩個(gè)同心半球之間的部分，且重心一定在 z 軸上。 4|)42(21))1((21)](1[21)(1020422010222122?????????????????? ???????????? ???drrdr d rrd x d yyxd x d yz d zz d vdvzxyxy DyxD 而圓錐的體積為： 3??V 。3231221r d rrdd x d yyxdSyxzdrrdd x d yyxdSyxzxyxyDD 所以， ??2232)()( 21 222222 ??????? ?????? ??? dSyxdSyxdSyxz 解：將被截得的平面向 XOY 平面投影，又有已知條件的， ybcxaccz ??? ， bczacz yx ???? , ，設(shè)所求的 面積為 A，則有 22222222 21)()(1 bccabadx dybcacdSAxyD????????? ????? 解：將曲面向 XOY 平面投影，得投影區(qū)域， yzxzyxD yxxy 2,2,4: 22 ?????? 且， 設(shè)所求的面積為 A，則有 26 ???????????? ???????????2023220221)17(6141)2()2(1??? r d rrdd x d yyxdSAxyD 解：以圓環(huán)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則容易知道圓環(huán)薄片的面密度為： 時(shí)當(dāng) 4,1),( 2222 ???? yxyxyx? ，設(shè)薄片的質(zhì)量為 M，則有 ??? ? ???????? ? 422022 814122 ???? ? r drrddx dyyxM )(),( 22 yxkyx ???? ，而02200 2,2,)2,2( ???? akakaa ????? ???? ????? aas adyyxdxadsyxaM 0 02220222202 34)(2)(2 ??? 習(xí)題 25 解：481|)86(21)(),(108610332????? ? ?????xxdxy dyxydxdyxx xxDD??? 541|)96(31)(),(10961022222????? ? ?????xxdxdyyxdyxdyxy xxDD??? 351|)75(21)(),(107510222????? ? ?????xxdxy dyxydxdyx xxDD??? 27 ).5435,4835(,5435351541,4835351481重心???? ?? yx 解：設(shè) P(x,y)為三角形上一點(diǎn)，則容易知道此點(diǎn)的密度為 22),( yxyx ??? 。 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分 解：（ 1）用球面坐標(biāo)計(jì)算 ????????????5451)c o s(2s i ns i n)(10501040204222??????????????? ???????????rdrrdddd r drdvzyx （ 2）用球面坐標(biāo)計(jì)算 44/0644/0544/04c o s203204/0267c o s68c o ss i n8)c o s2(41c o ss i n2c o ss i ns i nc o saadadadrrdddd r drrz d va????????????????????????? ??????????????? ????????? 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分 解：（ 1）積分區(qū)域 ? 為球，故用球面坐標(biāo)計(jì)算：?????????????????20 20cos0:r，所以 23 10c os512c os41s i n2s i n2s i n2/052/042/0c os03c os022/020222???????????????? ?????????????????? ???????ddrrddrrrdddvzyx （ 2）將 yz 2? 代入 22 yxz ?? 得到 xoy 平面上的一個(gè)圓 ? ? 11 22 ??? yx ，用直角坐標(biāo)公式計(jì)算 ????????????? ?yyxxx zdzdydxzdv2111111 2222，由于計(jì)算量較大，請(qǐng)同學(xué)一試。1: 2 ????? yxyD xy ，所以 22 15821212)1( 10 4211 11 1 1 10 22 ??????? ??????? ???? ? ???? ?? ?? dyyydxxdydzdxdydvV yy x 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分 解：（ 1）因?yàn)榉e分區(qū)域 ? 的上曲面為開口向上的上半球面 222 yxz ??? ，下曲面為開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 22 yxz ?? ，將 22 yxz ?? 代入 222 yxz ??? 得 zz ?? 2 ，解此方程得 1?z 積分區(qū)域 ? 在 xoy 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 1: 22 ?? yxDxy ，由柱坐標(biāo)公式得： 10,20: ???? rD xy ?? ? ??? ? ??? ? ????? ??10 4220102 127221222???? drrrrz r dzdrdz dv rr。11: 2 ????? yxxD xy ，所以 ? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? 1 1 1 02 22 , x yx dzzyxfdydxdvzyxf 解：積分區(qū)域 ? 如圖 221 所示 0)1(6121 1 1 61 21 11 1 1 0 22 ????? ?????? ? ? ? ??? ? dxxxdyyx dxz dzdyx dxx z dx dy dz xx y 另解：因?yàn)榉e分區(qū)域 ? 關(guān)于坐標(biāo)面 yoz 對(duì)稱，又 xzzyxf ?),( 關(guān)于第一坐標(biāo)是奇函數(shù)，所以 0????? xzdxdydz。 17 7（題略） 解 設(shè) BC=a, 則橫截面積S=21 (BC+AD)h=21 ??? c tghhS ??? =a)h, c t gh +(a=)h 2hc t g(2a ,濕周???? s i n2s i n2a2CDa=) F (h, hc t ghhSh ???????? 由 0s in22 ??????? ??c tghShf (1) 0sin c os21 2 ????? ? ??f (2) 由 (2)有 12cos 0?? , 3??? , 由 (1), h=43S , 即 (43,3S? )為唯一駐點(diǎn)，故當(dāng) 3??? , h=43S 時(shí)，濕周最小 . 習(xí)題 21 解：在任意一個(gè)面積微元 ?d 上的壓力微元 ??gxddF? ，所以，該平面薄片一側(cè)所受的水壓力 ???D gxdF ?? 解：在任意一個(gè)面積微元 ?d 上的電荷微元 ?? dyxdF ),(? ，所以，該平面薄片的電荷總量 ???D dyxQ ?? ),( 解：因?yàn)?10,10 ???? yx ，所以 1122 ????? yxyx ，又 uln 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 ? ? ? ?1ln1ln 22 ????? yxyx ，由二重積分的保序性得 ? ? ? ??? ???? ?? ?? ???????10 10 10 1022 1ln1lnyx yxdyxdyx ?? 解：積分區(qū)域 D 如圖 211 所示，所以該物體的質(zhì)量 34)384438()()( 10 3210 2 2222 ????????? ?? ??? ? dyyyydxyxdydyxM yyD ? 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 212 所示，所以 ???? ? 110010 ),(),( xy dyyxfdxdxyxfdy 18 （ 2）積分區(qū)域如圖 213 所示，所以 ???? ? xxyy dyyxfdxdxyxfdy 2/40220 ),(),(2 （ 3）積分區(qū)域如圖 214 所示，所以 ???? ????? ?11210222122 ),(),( yyxxx dxyxfdydyyxfdx （ 4）積分區(qū)域如圖 215 所示，所以 ???? ? eexe y dxyxfdydyyxfdx ),(),( 10ln00 解：（ 1）積分區(qū)域如圖 216 所示，所以 ? ?????? ??????? ????? 10 1054/1134/310 5565111432322 xxdxxxxdyyxdxdyxxxD ? （ 2）積分區(qū)域如圖 217 所示，所以1564)4(212 20 2240 22 22 2 ???? ????? ?? dyyydxxydydxy yD ? （ 3）積分區(qū)域如圖 218 所示，所以 11021011211011111101101)()()()(???????????????????????????????????????????eedxeeedxeeedxeeedxeeedyedxdyedxdexxxxxxxxxxyxxxyxDyx ? （ 4）積分區(qū)域如圖 219 所示，所以 613832419)()( 20 232/ 222022 ??????? ??????? ????? dyy