高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)第四十一講雙曲線(參考版)
2025-01-11 13:44本頁(yè)面
【正文】 912 , :1,261 ( 3 2 , 2) .16 4,xyxy? ? ???【 典 例 】 根 據(jù) 下 列 條 件 求 雙 曲 線 的 方 程與 雙 曲 線 有 共 同 的 漸 近 線 且 過 點(diǎn)與 雙 曲 線 有 共 同 的 焦 點(diǎn) 且 過 點(diǎn)? ?? ?22222222( 3 , 2 3 )9 161,41.9[16 41 ( 4 16 ) ,16 4( 3 2 , 2)1.] 1 ( 0),2k 4 ,12 8xyxyxykkkxy???? ? ???? ? ? ? ????????解 設(shè) 雙 曲 線 的 方 程 為 將 點(diǎn)代 入 得可 得 雙 曲 線 的 方 程 為設(shè) 雙 曲 線 的 方 程 為 將 點(diǎn)代 入 得可 得 雙 曲 線 的 方 程 為。P x , y ,0,1001.,x y x ya b a bxyab? ? ? ?? ? ?????若 在 Ⅱ ? Ⅲ 區(qū) 域 內(nèi) 則 或這 時(shí) 中 點(diǎn) 弦 存 在若 在 區(qū) 域 Ⅰ 內(nèi) 則這 時(shí) 中 點(diǎn) 弦 不 存 在? ?221 Q 1 , 1 MN , QMN , MN ( )A .2x y 1 0 B . x 2y 1 0C .2x y 3 01D2.yx? ? ? ? ? ??????【 典 例 】 過 點(diǎn) 作 雙 曲 線 的 弦 使 點(diǎn) 為的 中 點(diǎn) 則 的 方 程 為不 存 在? ?222[ ] 2x y 1 0 ,031 0 2220, 。,。1.a b , P O R , y P O R .02c a b ,a b ,a b ,bt an ac a bea a t an si nc ossi n???????? ? ???? ? ? ? ??????當(dāng) 時(shí) 兩 條 漸 近 線 的 夾 角 為 且 軸 平 分此 時(shí) 有 且因 為所 以故 當(dāng) ≥ 時(shí) 雙 曲 線 的 離 心 率 為當(dāng) 時(shí) 雙 曲 線 的 離 心 率 為錯(cuò)源二 忽視雙曲線的特殊性 ,誤用一些充要條件 【 典例 2】 已知雙曲線 x2y2=1和點(diǎn) P(2,2),設(shè)直線 l過點(diǎn) P且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) ,求直線 l的方程 . [錯(cuò)解 ]設(shè)直線 l的方程為 y=k(x2)+2,代入雙曲線方程 x2y2=1,整理得 : (1k2)x24k(1k)x4(1k)21=0.(*) 方程 (*)的判別式 Δ =12k232k+20. 0 , k 1 .l y xx y 0535( 2) 2.5x 3y 4 0.3kyx? ? ??? ? ? ??????由 解 得 或所 求 直 線 的 方 程 為 或即 或 [剖析 ]錯(cuò)解中誤以為判別式 Δ=0是直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件 .事實(shí)上 ,命題成立的充要條件是方程(*)有且僅有一個(gè)根 .故應(yīng)分類討論 . [正解 ]設(shè)直線 l的方程為 y=k(x2)+2,代入雙曲線 x2y2=1,整理得 : (1k2)x24k(1k)x4(1k)21=0.(*) 當(dāng) 1k2=0時(shí) ,斜率 k=1或 k=1. 而當(dāng) k=1時(shí) ,方程 (*)不成立 。2CA B , ( O ) , k422 .xl y k xOA OB?????【 典 例 】 已 知 橢 圓 的 方 程 為 雙 曲 線 的 左 、右 焦 點(diǎn) 分 別 是 的 左 、 右 頂 點(diǎn) 而 的 左 、 右 頂 點(diǎn) 分 別 是的 左 、 右 焦 點(diǎn)求 雙 曲 線 的 方 程若 直 線 與 雙 曲 線 恒 有 兩 個(gè) 不 同 的 交 點(diǎn)和 且 其 中 為 原 點(diǎn) 求 的 取 值 范 圍：? ?? ?2222222 2 2 2 2 2222222[ ] 1 Ca 4 1 3 , c 4 , a b c , b 1 .C y 1 .21,32 1 ,3( 1 3 ) 6 2 9 0.xyabxxy k x yk x k x???? ? ? ? ? ? ??????????解 設(shè) 雙 曲 線 的 方 程 為則 再 由 得故 的 方 程 為將 代 入得? ? ? ?? ? ? ?2221 1 2 21 2 1 22222222221 2 1 2 1 2 121 2 1 2l C ,k k 1A x , y , B1 3 0,( 6 2 ) 36( 1 3 ) 36( 1 ) 0136 2 9,.1 3 1 32 ) ( 2 )372.31x , y ,x x x xx x y y x x ( kxk 1 x x x x 2kk k kkkkkxkkk? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?由 直 線 與 雙 曲 線 交 于 不 同 的 兩 點(diǎn) 得且 ①設(shè)則1 2 122222222,3 7 3 92. 0 ,3 1 3 113313331 , , 1x x y y 2 ,k31,k3OA OBkkkkk?? ? ????????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????又 得即解 得 ②由 ① ② 得故 的 取 值 范 圍 為[反思感悟 ]在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題 ,這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系 ,需要我們?nèi)ふ?.對(duì)于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題或最值問題 ,解法通常有兩種 :當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí) ,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式 (如
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