【正文】 例 2 設(shè) f (x) = x(x 1)(x 2)… (x 50), 求 f? (0). 解 f? (x) = (x 1)(x 2)… (x 50) + x(x 2)(x 3)… (x 50) + … + x(x 1)(x 3)… (x 49) = (x 1)(x 2)… (x 50) + 含因子。 4) se c e .sinx xxaxx x?2 2 22 2 2 22 2 22 2 22 1 1 11 1 1 12 1 1 1 21 2 1 1( se c e ) 2 se c e ( se c e )2 se c e se c e ta n e ( e ) 2 se c e t a n e e ( 1 ) 4 e se c e t a n e .x x xx x x xx x xx x xxx? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?????????? 2) 。 69 3 ) ( l o g ) 。 例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 解 3) 2a r c ta n2 2 131 ) a r c sin 1 。 4) se c e .sinx xxaxx x?a r c t a n a r c t a n a r c t a n2a r c t a n a r c t a n2a r c t a n a r c t a n22a r c t a n2223 ( si n ) ( 3 ) 3 ( si n )si n si n1[ ( si n ) 3 l n 3 ( a r c t a n ) 3 c os ]si n1 si n3 l n 3 3 c ossi n 13[ ( l n 3 ) si n ( 1 ) c os ] .( 1 ) si nx x xxxxxxxxx xx x xxxxxxx x xxx??? ????????? ? ??? ? ?????? ?? 2) 。 67 3 ) ( l o g ) 。 例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 解 1) 2a r c ta n2 2 131 ) a r c sin 1 。 (4) 特別 , (5) (sin x)? = cos x. (6) (cos x)? = sin x. (7) (tan x)? = sec2x. (8) (cot x)? = csc2x. (9) (sec x)? = sec x tan x. (10) (csc x)? = csc x cot x. 利用這些基本導(dǎo)數(shù)公式和各種求導(dǎo)法則 ,特別是可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 , 即可求出各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 下面再舉一些綜合應(yīng)用基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則的例題 . 1( l og ) .lna x xa? ?1(ln ) .xx? ?222211( 1 1 ) ( a r c sin ) . ( 1 2) ( a r c c o s ) .11( 1 3 ) ( a r c ta n ) . ( 1 4) ( a r c c o t ) .11xxxxxxxx??? ? ??? ? ?? 基本導(dǎo)數(shù)公式 為了以后便于查找 , 現(xiàn)將前面所得到的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)收列如下 , 它們稱為 基本導(dǎo)數(shù)公式 ： (1) (C)? = 0. (2) (xμ)? =μxμ1. (3) (a x)? = a x ln a. 特別 , (e x )? = e x. 3x x xxy x y x y x x? ? ? ? ( ) l n l n l n( ( ) ) ( e ) ( e ) e ( l n )l n .vv x u v u v uvy u x v uuu v u vu? ? ? ? ?? ? ? ??????? ???? 2 ) ( c ot ) 。 63 3 ) t a n 。 例 11 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 4) y = (u(x))v(x) (u(x), v(x)可導(dǎo) ). 解 3) 兩邊取對數(shù) , 得 兩邊對 x 求導(dǎo) , 得 所以 13 ( 1 ) ( 2 )1 ) 。3x x xxy x y x y x x? ? ? ? 1l n l n c ot .yxx? 222d 1 1 1 1 ( c ot )l n l n c ot l n c otd c ot11l n c ot ( c sc ) .c otxy y x xx y x x xxxxxxx? ????? ? ? ?????? ? 122l n c ot 1 l n c ot 1( c ot ) .si n c os si n c osxy y xx x x x x xxx? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ) ( c ot ) 。 61 3 ) t a n 。 例 11 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 4) y = (u(x))v(x) (u(x), v(x)可導(dǎo) ). 解 1) 兩邊取對數(shù) , 有 ln y = x ln x. 兩邊對 x 求導(dǎo) , 注意 ln y 中的 y 是 x 的函數(shù) , 所以是一個復(fù)合函數(shù) , 由此 , 得 y? = (x x )? = y(ln x+1) = x x(ln x+1). 13 ( 1 ) ( 2 )1 ) 。 例 10 設(shè) f (2x + 1) = e x, 求 f (x) 和 f? (ln x). 解 先要求出函數(shù) f (x). 設(shè) u = 2x + 1, 則 故 所以 由此 , 得 1 ,2ux ?12 ( 2 1 ) ( ) e ,uf x f u ? ? ?12( ) e .xfx ?1 1 12 2 211( ) ( e ) e e .22x x xxfx ?????? ? ? ?????1 l n 122l n l nlnl n 111( l n ) ( ) | e | e1 1 e 1e.2 2 e 2 etxt x t xxxf x f tx??? ? ?? ? ? e x ( x)? = e x sin e x. 所以 y? (0) = e x sin e x | x = 0 = e0 sin e0 = sin 1. 例 9 設(shè) y = cos e x, 求 y? (0). 解 y? = sin e x 例 8 求冪函數(shù) y = xμ的導(dǎo)數(shù)． 解 由于 設(shè) t =μln x, 則 y = xμ= et, 故 所以 (xμ)? =μxμ1. 在復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練以后 , 用鏈?zhǔn)椒▌t對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時 , 可不寫出中間變量 , 而直接寫出函數(shù)對中間變量的求導(dǎo)結(jié)果 , 重要的是要清楚每一步是哪個函數(shù)對哪個變量求導(dǎo)． l n l ne e ,xxx ?????l n 1d d d( e ) ( l n ) ed d d= e .ttxy y txx t x xxxxx? ? ?????? ??? ? ? ??? 8 ) l n .x x x ax ? ? ? ? ?22 ,u x x a? ? ?2 2 2 222222 2 2 22212[ l n( ) ] ( l n ) ( ) 1211.xx x a u x x axax a xx x a x axa???? ? ?? ? ? ? ? ? ??????????? ? ??? 56 例 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解 7) ? ?22247 ) 2 5 l n 7 。xxx?2 2 2224 4 4441( a r c ta n( ta n ) ) ( a r c ta n ) ( ) ( ta n ) 2 se c12 ta n se c 2 si n c os1 ta n si n c ossi n 2.si n c osx u v x v xux x x xx x xxxx? ? ? ?? ? ? ???????? 5 ) 2 。 54 6) a r c ta n( ta n ) 。 2 = 20(1 + 2x)9. 5) 設(shè) y = 2u, u = tan v, 則 1ta n10 24) ( 1 2 ) 。 53 3 ) l n c o s 。 例 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解 2) 設(shè) y = e u, u = x2, 則由公式 ()? 有 3) 設(shè) y = ln u, u = cos x, 則 221 ) sin 。1xx xx?2,1 xu x? ?2222222d d dsi n ( si n )1 d d d 1( 1 ) ( 2 ) 1c os( 1 )2c os .1( 1 )x y y u xux x u x xx x xuxx x xxx? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ???????? 2) e 。 51 在公式 ()? 中 , 若 和 都用 y? 代替 , 就會 引起混淆 , 因為 y 既是 x 的函數(shù) , 又是中間變量 u 的函數(shù) , 這樣 , y ? 究竟是表示 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)還是表示 y 對 u 的導(dǎo)數(shù) , 就無法分辨 了 , 由此可見導(dǎo)數(shù)記號 的優(yōu)越性． 2176。 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 3 x ln 3)|x=2 = 4 32 + 4 32 ln