函數(shù)與極限ppt課件(參考版)
2024-12-11 03:28本頁面
【正文】 求極限的又一種方法 . 反函數(shù)的連續(xù)性 . 。 若每年計算 n次 按復(fù)利計算的第 m年末未來值的本利和為： mnm nrPS .0 )1( ??若 n 趨于無窮大，則有 nmnm nrPS )1(l i m0????rmrmrnnePnrP00])1[(l i m ?????這就是連續(xù)復(fù)利公式，它將現(xiàn)值 0PmS化為按連續(xù)復(fù)利計息的 m 年末的未來值 稱 rme為連續(xù)復(fù)利未來 值因子。 注意 例 3 .1s i nlim1 ??xx e求1s i n 1 ?? e原式 .1s i ?? e例 4 .11lim20 xxx???求解 解 )11( )11)(11(lim 2220 ???????? xxxxx原式11lim 20 ??? ? xxx 20? .0?注意 2. 初等函數(shù)求極限的方法 代入法 . )()()(lim 000定義區(qū)間??? xxfxfxx定理 1(最大值和最小值定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 . 七 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 推論 (有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 . 證 ,],[)( 上連續(xù)在設(shè)函數(shù) baxf],[ bax ?? ,)( Mxfm ??有 },m ax { MmK ?取 .)( Kxf ?則有 .],[)( 上有界在函數(shù) baxf?定理 3( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba , 上連續(xù)， m 與 M 分別是 )( xf 在這區(qū)間上的最小值與最大值，則對介于 m 與M 之間的任意一個實數(shù) C ，在開區(qū)間? ?ba ,內(nèi)至少有一點 ? ，使得Cf ?)( ? )( ba ???. 推論 ( 零點定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba , 上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即0)()( ?? bfaf ), 那末在開區(qū)間 ? ?ba , 內(nèi)至少有函數(shù) )( xf 的一個零點 , 即至少有一點 ? )( ba ??? ，使 0)( ??f . 定義 : .)(,0)( 000的零點稱為函數(shù)則使如果xfxxfx ?.),(0)( 內(nèi)至少存在一個實根在即方程 baxf ?a b3?2?1?幾何解釋 : .,)(軸至少有一個交點線弧與則曲軸的不同側(cè)端點位于的兩個連續(xù)曲線弧xxxfy ?xyo)( xfy ?例 1 .)1,0(014 23至少有一根內(nèi)在區(qū)間證明方程 ??? xx證 ,14)( 23 ??? xxxf令 ,]1,0[)( 上連續(xù)在則 xf,01)0( ??f又 ,02)( ???f 由零點定理 , 使),1,0(?? ? ,0)( ??f ,014 23 ??? ??即.)1,0(014 23 ?內(nèi)至少有一根在方程 ???? xx167。),( 內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在 ????★ )1,0(l o g ??? aaxy a對數(shù)函數(shù)。 四、四則運算的連續(xù)性 定理 1 .)0)(()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點則處連續(xù)在點若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf???例如 , ,),(c o s,s i n 內(nèi)連續(xù)在 ????xx.c s c,s e c,c ot,t an 在其定義域內(nèi)連續(xù)故 xxxx極限符號可以與函數(shù)符號互換 。)(lim)2(0存在xfxx ?).()(lim)3( 00xfxfxx ??).()(),()(,00或間斷點的不連續(xù)點為并稱點或間斷處不連續(xù)在點函數(shù)則稱要有一個不滿足如果上述三個條件中只xfxxxf例 4 .0,0,1 ,0,)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ???? ?? ??? xxx xxxf解 ),00()00( ??? ff?.0 為函數(shù)的間斷點?? x0lim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx1)1(l i m)(l i m 00 ??? ?? ?? xxf xx例 5 .1,1,11,10,1,2)(處的連續(xù)性在討論函數(shù)????????????xxxxxxxf解 ,1)1( ?f?2)(l i m 1 ?? ? xfx ),1(f?.1 為函數(shù)的間斷點?? x22lim)(lim 11 ?? ?? ?? xxf xx 2)1(l i m)(l i m 11 ??? ?? ?? xxf xx例 6 .0,0,0,1)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ????????? xxxxxxf解 o xy.0 為函數(shù)的間斷點?? x0lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx?????? ?? xxfxx1lim)(lim00例 7 .01si n)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù) ?? xxxf解 ,0 處沒有定義在 ?x?.1s i nl i m 0 不存在且 xx ?.0 為間斷點?? x注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點 . 三、小結(jié) 。)(),()0(,],()(0000處左連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfxaxf ??定理 .)()( 00處既左連續(xù)又右連續(xù)在是函數(shù)處連續(xù)在函數(shù) xxfxxf ?.)(),()0(,),[)(0000處右連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若函數(shù)xxfxfxfbxxf ??例 2 .0,0,2,0,2)(連續(xù)性處的在討論函數(shù) ????????? xxxxxxf解 )2(lim)(lim00 ?? ?? ?? xxf xx2? ),0(f?)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?右連續(xù)但不左連續(xù) , .0)( 處不連續(xù)在點故函數(shù) ?xxf 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù) ,叫做在該區(qū)間上的 連續(xù)函數(shù) ,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù) . .],[)(,),(上連續(xù)在閉區(qū)間函數(shù)則稱處左連續(xù)在右端點處右連續(xù)并且在左端點內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba??連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線 . 二、函數(shù)的間斷點 :)( 0 條件處連續(xù)必須滿足的三個在點函數(shù) xxf。 等價無窮小 。~。(,0lim)1(????????o記作高階的無窮小是比就說如果定義 : .0, ???? 且窮小是同一過程中的兩個無設(shè)。32 要快得多比 xx。 單調(diào)有界
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