[理學]第3節(jié)高階微分方程(參考版)
2024-12-11 01:04本頁面
【正文】 1 第三節(jié) 2 解 解法：兩邊積分 n 次即可 . 一 、 )()( xfy n ? 型 例 1 . c o se 2 的通解求 xy x ?????12 s i ne21 Cxy x ?????212 c ose41 CxCxy x ?????3221221s i ne81 CxCxCxy x ?????通解為 3 二 、 ),( yxFy ???? 型 , 不顯含 y 解法：令 )( xpy ?? ，化為 ),( pxfp ?? . 一階微分方程 求方程 0)21( ?????? yyx 的通解 . 解 令 yp ?? , 則方程化為 分離變量 , 得 xxpp d121d???, 積分得 1ln)12l n (21ln Cxp ???? , 或 211 )12(????? xCyp , 再積分 , 得原方程的通解為 2211 )12( CxCy ??? . 例 2 ,dd)21( pxpx ??4 原方程化為 ),(dd pyfypp ? . 三 、 ),( yyFy ???? 型 , 不顯含 x 解法 ：令 )( ypy ?? ， 則 xpy dd??? xyyp dddd ?? ，ypp dd?5 求方程 02 ????? yyy 的通解 . 解 令 xyp dd? , 代入原方程 , 得 即 0)dd( ?? pypyp . 分離變量 , 0dd ??yypp , 解得yCp ? , 即 yCxy ?dd , 分離變量 , xCyy dd ? , 積分得通解為 則yppydd??? 例 3 ，0dd 2 ?? pypyp.212 CxCy ??若 0dd ?? pypy , 6 0?y 也是方程的解 , 不過已包含在上述通解中； 若 0?p , 可得 Cy ? , 這也包含在上述通解中 . 本題還可用下面的簡單解法 : 原方程可化為 0)( ???yy , 積分得 1Cyy ?? , 即 xCyy dd ? , 于是得到原方程的通解 212 CxCy ?? . 即 0)dd( ?? pypyp . 積分得通解為 .212 CxCy ??若 0dd ?? pypy , 求方程 02 ????? yyy 的通解 . 解 例 3 7 求方程 yyy ?????? 3 的通解 . 解 方程不顯含 x , 令 yp ?? , 則 yppydd??? , 原方程化為 ppypp ?? 3dd , 即 0]1dd[ 2 ??? pypp , 由 0?p , 得 Cy ? , 由 1dd 2 ?? pyp , 得 1a r ct a n Cyp ?? , 或 )t a n ( 1Cyp ?? , 例 4 這是原方程的一個解 (非通解 ). 8 或 xCCy e)s i n ( 21 ?? , 因此 12 )ea r c s i n ( CCy x ?? 為原方程的通解 . ( 顯然 Cy ? 包含在其中 ). 即 )ta n (dd 1Cyxy ?? , 或 xCyy d)ta n (d1??, 積分得 21 ln)s i n (ln CxCy ??? , 求方程 yyy ?????? 3 的通解 . 解 例 4 或 )t a n ( 1Cyp ?? , 9 四、二階 常系數(shù) 線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 的標準形式 其中 a,b是常數(shù) . (1) )( xfbyyay ??????0?????? byyay(2) 若 0)( ?xf , 則稱為 二階常系數(shù) 非齊次 線性微分方程 , 若 0)( ?xf , 即 方程 稱為 二階常系數(shù) 齊次 線性微分方程 . 10 二階常系數(shù) 齊次 線性方程解的性質(zhì) 回顧 一階齊次線性 方程 0)( ??? yxPy (1) (1)的任意兩個解 的 和仍是 (1)的解； (1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是 (1)的解 . 11 二階常系數(shù) 齊次 線性方程解的性質(zhì) (
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