【正文】 截取 的整數(shù)個周期做 DFT，也能獲得 的頻譜結構。因此求得了x(n)的 DFT就可由它分析頻譜了。同理，可得： cf21?????102)()(Nnfn Tja enTxTjfX?ps TNTNfF 11 ???)]([)()(102 nxD F TTenxTkX Nnknja N ??? ???? ?)]([1)( kXI D F TTnx a?利用 DFT對信號進行譜分析 ?利用 DFT對序列進行譜分析 ?序列 x(n)的頻譜（傅氏變換）就是序列在單位圓上的 Z變換 ，它是關于 ?的連續(xù)周期函數(shù)。 ? ??? ??? dtetxtxFTjfX ftjaaa ?2)()]([)(利用 DFT對信號進行譜分析 2) 對 xa(t)以 T≤ 的間隔進行 N點采樣，令 t=nT，得到序列x(n)=xa(nT)，設 T足夠小，有 dt=T，所以上式變?yōu)椋? 其時頻圖象見圖 (b)， 時域離散化，頻譜周期化 。在下面討論中，假設 xa(t)都是經(jīng)過預濾波（頻譜帶寬有限化）和截取處理（持續(xù)時間有限長）的有限長帶限信號。事實上，由傅氏變換理論知， 若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長 。信號頻譜是連續(xù)的，不能用數(shù)字信號處理方法計算，按頻域采用定理，序列的 DFT完整反映了頻譜信息，所以可以通過 DFT進行譜分析。 ? 重疊保存法（ Overlap Save Method） 在重疊相加法中若在實現(xiàn)快速卷積時 各分段補零的部分不是補零，而是保存原序列中的數(shù)據(jù) ，這樣來求得卷積的方法稱為“重疊保存法”。這樣求出的各分段卷積結果有 LM=N1點要重疊（如圖 ），各重疊部分要相加起來，故稱作“重疊相加法”。 ?重疊相加法（ Overlap Add Method） 以 xk(n)表示 x(n)的第 k段，即： ??? ?????其他 01)1( )()( MknkMnxnxk快速卷積 則 x(n)可表示為： 這樣 ， 卷積后的輸出序列為： 式中： 由此可見 ， 只須將 x(n)分段后再分別與 h(n)卷積 ， 將這些卷積結果相加起來就可得到最后的卷積結果 ， 每一段的卷積均可用快速卷積來計算 。 又可獲得快速卷積的運算效益 。 所以可以采用將數(shù)據(jù) x(n)分成與 h(n)的長度相近的數(shù)據(jù)段 ， 如下圖所示 。 ? 算法效率及分析 ? 算法效率 快速卷積 事實上，在實踐中通常數(shù)據(jù) x(n)的長度很長，一般遠大于 h(n)的長度，為了在實際系統(tǒng)中能夠應用快速卷積，并能獲得其運算效率高的優(yōu)勢，通常采用分段處理的方法來解決。 快速卷積 當 N?M時， 采用前面介紹的方法很有效，可以大大降低運算量。 )()()()()]()([)()()()())(()()()()(101010nynRqLnynRmqLnxmhnRqLmnxmhnRmnxmhnxnhnylqLlqLmLLm qLLmLLe??????????????? ?? ????????????????????利用 DFT進行計算 利用 DFT計算線性卷積的步驟為： 1) 設參加卷積的兩序列長度分別為 N和 M，取 L＝ N+M－ 1； 2) 對參加卷積的兩序列補 “ 0” ，補齊到 L點，即： 3) 分別對已補長的兩序列用 FFT求 L點的 DFT： H(k)=DFT[h(n)] (L點 FFT) X(k)=DFT[x(n)] (L點 FFT) ??????????1 010 )()(LnNNnnhnh??????????1 010 )()(LnMMnnxnx第四章 離散傅氏變換的基本應用 4) 將兩 DFT序列相乘，得到一個 L點的頻域序列 Y(k)： Y(k)=H(k)X(k) (L次復乘法 ) 5) 用 FFT對 Y(k)求 L點的 IDFT，求得線性卷積的結果序列 y(n)。所以可以利用兩序列的循環(huán)卷積來計算兩者的線性卷積。 )())(()(~ ??????? ?????NnnhnhrLnhnhnhrL10 , )()(~ 。因而，要想循環(huán)卷積與線性卷積等效，則至少應滿足卷積結果序列長度相同，即有循環(huán)卷積序列的長度 L應滿足： 下面取 L=N+M1， 證明循環(huán)卷積與線性卷積等效。下面就來推導循環(huán)卷積與線性卷積等效的條件。 ?利用循環(huán)卷積計算線性卷積 在實際應用中需要大量進行的運算是線性卷積，例如信號通過系統(tǒng)求輸出，分析系統(tǒng)特性等。 設 x1(n)和 x2(n) 為兩個 L點的序列， X1(k)和 X2(k)分別是它們的 L點 DFT， y(n)是 x1(n)和 x2(n)循環(huán)卷積的結果序列，由 DFT時域卷積定理可得： 利用 DFT進行計算 進而，有： 其計算過程可如圖 。 ?利用 DFT計算循環(huán)卷積 如前所述，可以采用同心圓法、作圖法等方法在時域計算循環(huán)卷積，但比較麻煩，特別是當 N很大時，需要很大的計算量。 很顯然，當 x1(n)或 x2(n)是偶對稱序列時，由 DHT的奇偶性知： ?DHT的快速算法（ FHT） ?利用與 FFT相類似的思想和方法可導出 DHT的快速算法 FHT； ?與 FFT類似，也有時域（頻域）抽取基 2（ 8） FHT算法。 1,2,1,0 ]2s i n2) [ c o s()]([)(10??????????NkknNknNnxnNxDHTkNXNnH???離散哈特萊變換（ DHT） ?循環(huán)移位性質(zhì) ?奇偶性：奇（偶）對稱序列的 DHT仍是奇（偶）對稱序列。 ? DHT的主要優(yōu)點 1) DHT是實變換，降低了運算量，實現(xiàn)簡單； 2) DHT的正反變換除了一個 1/N因子外，定義相同，可用相同軟硬件計算 DHT和 IDHT； 3) DHT與 DFT之間關系簡單，容易實現(xiàn)兩者互換?？梢宰C明其逆變換為： ?利用尤拉公式和序列的共軛對稱性可