1671集合映射(參考版)
2024-10-03 19:17本頁面
【正文】 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21 顯然，對于由有限多個元素組成的集合，即所謂有限集合來說，兩個集合之間存在雙射的充分必要條件是它們所含元素的個數(shù)相同 . 于是對有限集合 M 及其子集 M ?, 若 M ? ? M， M 與 M ? 就不能建立雙射 . 但 對無限集合就不一定如此 . 有限集到有限集的映射的三種情況 ,可用下圖來示意 . X Y ? 單射 X Y ? 滿射 X Y ? 雙射 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22 設(shè) ? 是集合 X 到 Y 的一個映射，如果 存在集合 Y 到 X 的一個映射 ?，使 ? ? = 1X 和 ? ? = 1Y 同時成立，則稱 ? 是 可逆映射 (簡稱 ? 可逆 )，并稱 ? 為 ? 的 逆映射 ，記作 ? 1 = ? . 此時也說 ? 是 可逆的，且 ? 1 = ? . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23 定理 如果映射是可逆的，則其逆映射是唯一的 . 證 設(shè) ?1， ?2 是 ? 的兩個逆映射，即 ?1? = ?2? = 1X 且 ? ?1 = ? ?2 = 1Y . 則有 ?1 = ?11Y = ?1 (? ?2 ) = (?1? )?2 = 1X ?2 = ?2 ， 故 ? 的逆映射是唯一的 . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24 定理 集合 X 到 Y 的映射 ? 可逆的 充要條件 是 ? 為雙射 . 證 先證必要性 . 設(shè) ? 可逆，即有唯一的從集合 Y 到 X 的映射 ? ，使 ? ? = 1X 且 ? ? = 1Y , 于是，對任意的 ? ? Y ，有 ? = 1Y ( ? ) = (? ? ) ( ? ) = ? ( ? (? ) ) ， 由于 ? (? ) ? X，故 ? 是滿射； 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25 又因為，若 ? ( ?1 ) = ? ( ?2 ) ， 則 ?1 = 1X( ?1 ) = ? ( ? ( ?1 ) ) = (? ? ) ( ?1 ) = ? ( ? ( ?2 ) ) = (? ? ) ( ?2 ) = 1X( ?2 ) = ?2 ， 故 ? 是單射，從而 ? 是雙射 . 再證充分性 . 設(shè) ? 是雙射，對任意的 ? ? Y ， 存在唯一的 ? ? X，使 ? ( ? ) = ? ，于是可定義集 合 Y 到 X 的映射 ? ，使得 ? ( ? ) = ? ，其中 ? 是 X 中與 ? 一一對應的元素，這樣，對任意的 ? ? X , 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26
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