課本習(xí)題的價(jià)值在探究中提升(20xx8)(參考版)
2025-06-09 00:24本頁面
【正文】 第 1 頁 共 7 頁 課本 習(xí)題 的 價(jià)值在 探究 中提升 姜 軍 (浙江省江山中學(xué) 324100) (Email:) 原題 （人教版高中數(shù)學(xué)選修 45 教材 P 41 題 1）已知 ,abc R?? ，且 1abc? ? ? ，求證： 1 1 1 9.abc? ? ? 證明 1(利用均值不等式 ) 依題意得 1 1 1 1 1 1( ) ( )abca b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?3 ( )abba??? ( ) ( )a c b cc a c b? ? ? ?3 2 2 2 9? ? ? ? ，當(dāng)且僅當(dāng) 13abc? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 . 證明 2(利用柯西不等式 ) 依題意得 1 1 1 1 1 1( ) ( )abca b c a b c? ? ? ? ? ? ? ?1( aa?? 211)9bcbc? ? ? ?,當(dāng)且僅當(dāng) 13abc? ? ? 時(shí)等號(hào)成立 . 探 究 1 已知 ,abc R?? ，且 1abc? ? ? ，求證： 3 3 3 .a b b c c a ab c? ? ?（ 1984年列寧格勒數(shù)學(xué)競賽試題） 證明 2 2 23 3 3 b b c c a a b c c a b? ? ? ? ? ? ?由柯西不等式得 2 2 2abcc a b? ? ? 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c a b cc a b c a bc a b c a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2( ) 1abc? ? ? ?， 2 2 2 1abcc a b? ? ? ?，即 3 3 3a b b c c a ab c? ? ?，當(dāng)且僅當(dāng) 13abc? ? ? 時(shí) 取 等號(hào) . 變式 1 設(shè) ,x y z R?? ，且 1x y z? ? ? ，求證： 22x y y z z xx y y z y z z x z x x y? ? ?? ? ?. (2021年國家集訓(xùn)隊(duì)考試題 ) 證明 由均值不等式 易得4xy x yxy ???
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