湖北省宜昌市一中20xx屆高三10月月考數(shù)學(xué)理科(參考版)
2024-09-03 17:19本頁(yè)面
【正文】 下面考查直線 ( 0)y kx k??與 ()y hx? 的相交問題 由圖可知直線 ( 0)y kx k??與 ()y hx? 存在交點(diǎn)， 且滿足 ()hx 在區(qū)間 [, ]ab 上的值域?yàn)?[ , ]kakb ∵在 [ 1,0]? 上， 14( , )3 27A ??為圖象的極小值點(diǎn) ∴過(guò) A 作直線 427y?? 與 ()y hx? 的圖象交于另一點(diǎn) 44( , )3 27B ?? ，當(dāng)直線 y kx? 繞原點(diǎn) O 順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)至點(diǎn) B 時(shí)，滿足條件的 k 取最小值，即 k 的最小值為 19 ，相應(yīng)區(qū)間 [, ]ab 為4[ ,0]3? 。( ) 0hx? ；當(dāng) 1( , )3x ? ? ?? 時(shí)， 39。( ) 0hx? ，得 1x?? 或 13x?? ， ∴當(dāng) ( 2, 1)x? ? ? 時(shí)， 39。 ( ) (1)nnf x ff x f???，得 1010( 1 ) 21( 1)(1 ) 2 1n nnnnx??? ??? ? ?∴ 10 (2 1)1 ( 1)(2 1)nnnx n? ??? ??，10 ( 1)2 1( 1)(2 1)nnnx n???? ??，易知 0 0x? ，而 10 221 ( 1)(2 1)nnnx n?????……………… 6分 由（ 1）知當(dāng) 0x? 時(shí)， (1 ) 1nx nx? ? ? ，故 112 (1 1 ) 1 1 2nn nn??? ? ? ? ? ? ? ∴ 0 1x? ，∴ 001x??………………………………………………… 9分 （ 3） 232( ) ( ) ( ) (1 )h x f x f x x x? ? ? ? 239。( ) 0gx? ∴ ()gx在 ( 2,0)? 上遞減，在 (0, )?? 上遞增 故 ()gx在 0x? 處取得極（最）小值 (0) 0g ? ∴ ( ) 0gx? ，即 ()nf x nx? （當(dāng)且僅當(dāng) 0x? 時(shí)取等號(hào)） …………………… 4分 （ 2 ）由 01 0 139。( ) [(1 ) 1]ng x n x ?? ? ? 當(dāng) ( 2,0)x?? 時(shí) 39。 又 F(1)= 1 1e e 0?? ， 所 以 x1 時(shí) ， 有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x)……… 6分 20． 解：（ 1）因?yàn)辄c(diǎn) ( , )nSnn 在函數(shù) () 2naf x x x?? 的圖象上， 故 2nnSan?? ，所以 2 12nnS n a??．令 1n? ，得1111 2aa??，所以 1 2a? ； 令 2n? ，得1 2 214 2a a a? ? ?， 2 4a? ；令 3n? ，得1 2 3 319 2a a a a? ? ? ?， 3 6a? ．由此猜想： 2nan? ．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ① 當(dāng) 1n? 時(shí)，有上面的求解知，猜想成立． ② 假設(shè) ( 1, )n k k k N ???≥ 時(shí)猜想成立，即 2kak? 成立， 則當(dāng) 1nk??時(shí)，注意到 2 12nnS n a?? *( N)n?， 故 2111( 1) 2kkS k a??? ? ?， 2 12kkS k a??． 兩式相減，得111121 22k k ka k a a??? ? ? ?，所以 1 42kka k a? ? ? ?． 由歸納假設(shè)得， 2kak? ，故 1 4 2 4 2 2 2 ( 1 )kka k a k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?． 這說(shuō)明 1nk??時(shí)，猜想也成立． 由 ①② 知，對(duì)一切 *Nn? ， 2nan? 成立 ． …………………………… 4分 另解： 因?yàn)辄c(diǎn) ( , )nSnn 在函數(shù) () 2naf x x x?? 的圖象上， 故 2nnSan?? ，所以 2 12nnS n a?? ① ．令 1n? ，得1111 2aa??， 所以 1 2a? ； 2n≥ 時(shí) 2111( 1) 2nnS n a??? ? ? ② 2n≥ 時(shí) ① － ② 得 1 42nna a n?? ? ? ?， 令 1[ ( 1 ) ]nna A n B a A n B?? ? ? ? ? ? ?， 即 1 22nna a A
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