【正文】 （ 3）盡量利用幾何關(guān)系求 a、b、 r或 D、 E、 F. 第 4 課 直線與圓的位置關(guān)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 能利 用代數(shù)方法和幾何方法判定直線與圓的位置關(guān)系；熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解決直線與圓、圓與圓的綜合問題，運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，了解空間中兩點(diǎn)間的距離公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 4x3y2=0與圓 x2+y22ax+4y+a212=0 總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則 a的取值范圍是 6＜ a＜ 4 xy+4=0被圓 x2+y2+4x4y+6=0 截得的弦長(zhǎng)等于 22 P(2， 1)且與圓 x2+y22x+2y+1=0 相切的直線的方程 為 x=2 或 3x4y2=0 . 【 范例導(dǎo)析 】 例 C：（ x－ 1） 2＋（ y－ 2） 2＝ 25，直線 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－ 7m－ 4=0（ m∈ R） . （ 1）證明：不論 m取什么實(shí)數(shù)，直線 l與圓恒交于兩點(diǎn)； （ 2）求直線被圓 C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí) l的方程 . 分析：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得 . （ 1）證明： l的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0. 由 2 7 040xyxy? ? ??? ? ? ??得 31xy????? 即 l恒過定點(diǎn) A（ 3， 1） . ∵圓心 C（ 1， 2），｜ AC｜＝ 5 ＜ 5（半徑）， ∴點(diǎn) A在圓 C內(nèi)，從而直線 l恒與圓 C相交于兩點(diǎn) . （ 2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)， l⊥ AC，由 kAC＝－ 21 ， ∴ l的方程為 2x－ y－ 5=0. 點(diǎn)撥 :直線與圓相交截得弦長(zhǎng)的最小值時(shí) ,可以從垂徑定理角度考慮 ,充分利用圓的幾何性質(zhì) . 例 O: 122 ??yx ，圓 C: 1)4()2( 22 ???? yx ，由兩圓外一點(diǎn) ),( baP 引兩圓切線 PA、 PB，切點(diǎn)分別為 A、 B，滿足 |PA|=|PB|.求實(shí)數(shù) a、 b 間滿足的等量關(guān)系 . 解： 連結(jié) PO、 PC， ∵ |PA|=|PB|， |OA|=|CB|=1 ∴ |PO|2=|PC|2，從而 2222 )4()2( ????? baba 化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù) a、 b 間滿足的等量關(guān)系為 : 052 ??? ba . 例 C 與兩坐標(biāo)軸都相切，圓心 C 到直線 yx?? 的距離等于 2 . 求圓 C的方程 . 解： 設(shè) 圓 C半徑為 r ，由已知得：22abraab?? ?????? ?? ??? ∴ 11abr???? ??，或 11abr ? ???? ?? ∴圓 C方程為 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 1 , ( 1 ) ( 1 ) 1x y x y? ? ? ? ? ?或 ＋ ＋. 例 ，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，平行于 x軸且過點(diǎn) A(3 3， 2)的入射光線 l1 被直線 l： y= 33 x 反射．反射光線 l2交 y 軸于 B 點(diǎn) ， 圓 C 過點(diǎn) A 且與 l1, l2 都相切 . (1)求 l2 所在直線的方程和圓 C 的方程； (2)設(shè) P， Q 分別是直線 l 和圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求 PB+PQ 的最小值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 解： （ 1）直線 1: 2,ly? 設(shè) 1 2 3 2l l D D交于點(diǎn) ，則（ ，） . l 的傾斜角為 30 ， 2 60l? 的 傾 斜 角 為 ，2 ?? ?反射光線 2l 所在的直線方程為 2 3 ( 2 3 )yx? ? ? . 即 3 4 0xy? ? ? . x y A B l2 l1 l 例 2 例 4 已知圓 C 與 1lA切 于 點(diǎn) ， 設(shè) C（ a,b), 圓心 C 在過點(diǎn) D 且與 l 垂直的直線上， 38ba? ?? ? ,又圓心 C 在過點(diǎn) A 且與 1l 垂直的直線上，33a?? , 3 8 1ba? ? ? ? ? ?，圓 C 的半徑 r=3， 故所求圓 C 的方程為 22( 3 3 ) ( 1) 9xy? ? ? ?. （ 2）設(shè)點(diǎn) ? ?0, 4B ? 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) 00( , )B x y? ，則00004 32 3 24 3yxyx? ? ????? ?? ????， 得 ( 2 3,2)B?? ,固定點(diǎn) Q 可發(fā)現(xiàn)，當(dāng) B P Q?、 、 共線時(shí)， PB PQ? 最小， 故 PB PQ? 的最小值為 3 2 21 3BC? ? ? ?.此時(shí)由1 3 321 2 3 3 333yxyx? ???? ?? ???? ???,得 31( , )22P . 【反饋練習(xí)】 x2+y24x=0 在點(diǎn) P(1, 3 )處的切線方程為 3 2 0xy? ? ? l 過點(diǎn) ），（ 02? ，當(dāng)直線 l 與圓 xyx 222 ?? 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率 k 的取值范圍是224?（ ， ）4 m0,則直線 2 (x+y)+1+m=0 與圓 x2+y2=m 的位置關(guān)系 為 相切或相離 解析：圓心到直線的距離為 d= 21 m? ,圓半徑為 m . ∵ dr= 21 m? m =21 (m2 m +1)=21 ( m 1)2≥ 0,∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離 . (x3)2+(y3)2=9上到直線 3x+4y11=0的距離等于 1的點(diǎn)有個(gè)數(shù)為 3 P 從 (1,0)出發(fā) ,沿單位圓 122 ??yx 逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng) 32? 弧長(zhǎng)到達(dá) Q 點(diǎn) ,則 Q 的坐標(biāo)為 )23,21(? 04122 ???? mxyx與直線 1??y 相切，且其圓心在 y 軸的左側(cè)，則 m 的值為 34 P 為圓 122 ??yx 上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 01043 ??? yx 的距離的最小值為 1 . 002 4 0xyxy??????? ? ??恰好被面積最小的圓 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r? ? ? ?及其內(nèi) 部所覆蓋． (1)試求圓 C 的方程 . (2)若斜率為 1的直線 l 與圓 C 交于不同兩點(diǎn) ,.AB滿足 CA CB? ,求直線 l 的方程 . 解 :(1)由題意知此平面區(qū)域表示的是以 (0 , 0 ), ( 4 , 0 ), (0 , 2 )O P Q構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部 ,且△ OPQ 是直角三角形 , 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓 ,故圓心是 (2,1),半徑是 5 ,所以圓 C 的方程是22( 2) ( 1) 5xy? ? ? ?. (2)設(shè)直線 l 的方程是 :y x b??. 因?yàn)?CA CB? , 所以圓心 C 到直線 l 的距離是 102 , 即22| 2 1 | 10211b?? ?? 解得 : 15b?? ? .所以直線 l 的方程是 : 15yx? ? ? . 。 解：設(shè)圓心 P(x0,y0),則有??? ??????? ???2020202000 )2()3()2()5( 032 yxyx yx , 解得 x0=4, y0=5, ∴半徑 r= 10 , ∴所求圓的方程為 (x─4)2+(y─5)2=10新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆 11. 一圓與 y 軸相切，圓心在直線 x－ 3y=0 上，且直線 y=x 截圓所得弦長(zhǎng)為 2 7 ，求此圓的方程新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆 解：因圓與 y軸相切，且圓心在直線 x－ 3y=0 上， 故設(shè)圓方程為 2 2 2( 3 ) ( ) 9x b y b b? ? ? ?新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆 又因?yàn)橹本€ y=x截圓得弦長(zhǎng)為 2 7 ， 則有 2|3 |()2bb?+ 2( 7) =9b2， 解得 b=177。 解：原方程可化為 2 2222 ( 1 ) 2 4 ( 2 2 )()a a axya a a? ? ???? ? ? ????? 2 2 2 0,aa? ? ? ?當(dāng) a 0? 時(shí)，原方程表示圓。則實(shí)數(shù) c 值為 _11__ 22 0x y Dx Ey F? ? ? ? ?? ?22 40D E F? ?所表示的曲線關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱，那么必有 __D=E__ 【 范例導(dǎo)析 】 【例 1】 設(shè)方程 2 2 2 42 ( 3 ) 2 ( 1 4 ) 1 6 9 0x y m x m y m? ? ? ? ? ? ? ?，若該方程表示一個(gè)圓，求 m 的取值范圍及這時(shí)圓心的軌跡方程。 解： 1l 與 2l 的方程分別為： 12x5y60=0,12x5y+5=0 或 x=5,x=0 ?ABC的三邊方程分別為 AB:4 3 10 0xy? ? ? ， BC: 20y?? ， CA:3 4 5 0xy? ? ? . 求：（ 1） AB邊上的高所在直線的方程；（ 2）∠ BAC的內(nèi)角平分線所在直線的方程 . 解：（ 1） AB邊上的高斜率為 34? 且過點(diǎn) C，解方程組 203 4 5 0yxy???? ? ? ??得點(diǎn) C（ 133 ， 2）所以 AB 邊上的高方程為 3 4 21 0xy? ? ? . （ 2）設(shè) P? ?,xy 為 ∠ BAC的內(nèi)角平分線上任意一點(diǎn)，則? ? ? ?22224 3 1 0 3 4 54 3 3 4x y x y? ? ? ??? ? ? ?解得 7 7 5 0xy? ? ?或 15 0xy? ? ? ，由圖形知 7 7 5 0xy? ? ? 即為所求 . 第 3 課 圓的方程 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 ，能根據(jù)問題的條件選擇適當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行互化。 ，又由直線 l 過點(diǎn) P（ 3， 1），故所求 l 的方程為 x=3 或 y=1。兩式相減，得（ x1x2） +（ y1y2） =5 ① 又（ x1x2） 2+（ y1y2） 2=25 ② 聯(lián)立 ① ②，可得 121250xxyy???? ???或 121205xxyy???? ??? 由上可知，直線 l 的傾斜角為 0176。 綜上可知，所求 l 的方程為 x=3 或 y=1。 分析：可以求出 直線 l 與兩平行線的交點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式求出直線斜率 解 法 一 ： :若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 x=3，此時(shí)與 1l 、 2l 的交點(diǎn)分別是 A1（ 3， 4）和 B1（ 3， 9），截得的線段 AB 的長(zhǎng) |AB|=|4+9|=5，符合題意。 點(diǎn)撥：判斷兩條直線平行或垂直時(shí)，不要忘了考慮兩條直線斜率是否存在 . 例 l 經(jīng)過點(diǎn) P（ 3， 1），且被兩平行直線 1l ： x+y+1=0 和 2l ： x+y+6=0 截得的線段之長(zhǎng)為 5。 ，方法巧妙 . P（ 3， 2），并且分別滿足下列條件，求直線方程： （ 1）傾斜角是直線 x－ 4y+3=0 的傾斜角的 2 倍； （ 2）與 x、 y軸的正半軸交于 A、 B兩點(diǎn)，且△ AOB的面積最?。?O為坐標(biāo)原點(diǎn)） 解：（ 1）設(shè)所求直線傾斜角為 θ，已知直線的傾斜角為 α，則 θ＝ 2α，且 tanα＝ 41 ， tanθ＝ tan2α＝ 158 ， 從而方程為 8x－ 15y+6=0 （ 2）設(shè)直線方程為 ax ＋ by ＝ 1， a＞ 0， b＞ 0， 代入 P（ 3， 2），得 a3 ＋ b2 ＝ 1≥ 2ab6，得 ab≥ 24， 從而 S△ AOB＝ 21 ab≥ 12， 此時(shí) a3 ＝ b2 ，∴ k＝－ ab ＝－ 32 點(diǎn) 撥： 此題（ 2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于 a或 b的一元函數(shù)后再求其最小值 第 2 課 兩條直線的位置關(guān)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 ，能根據(jù)直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系，會(huì)求兩條相交直線的交點(diǎn)，掌握點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間距離公式 . ，有時(shí)考察單一知識(shí)點(diǎn) ,有時(shí)也和函數(shù)三角不等式等結(jié)合，題目難度中等偏易 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 A(2， m)和 B(m， 4)的直線與直線 2x+y1=0平行，則 m的值為 8 （－ 1， 3）且垂直于直線 x－ 2y+3=0 的直線方程為 2x+y－ 1=0 2 3 8 0,xy? ? ? 10xy? ? ? 和 1 02x ky k? ? ? ?相交于一點(diǎn)，則 k 的值等于 12? . 【 范例導(dǎo)析 】 例 1l :x+m2y+6