【正文】 本文旨在對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)的控制算法進(jìn)行研 究。然后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算相結(jié)合，求出根軌跡和頻率響應(yīng)補(bǔ)償裝置的具體傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償校正，并確定其相關(guān)參數(shù)使各性能滿(mǎn)足要求。 第四節(jié) 本章小結(jié) 本章介紹了幾種控制器的的設(shè)計(jì)和調(diào)試，結(jié)合圖形對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行控制。 圖 校正后跟軌跡圖 此時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如 所示。校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ))()(()1()()(sssssGsGaaoc???????? () 校正后系統(tǒng)的相角裕 度 a 1t a 1 01t a n1t a n1 8 0 1111 ???? ?????? aao ??? () 求出 ?? 那么，超前 滯后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 ) )(() 11)(()(sssssGc?????? () 系統(tǒng)校正后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ))()(()()()(sssssGsG oc?????? () 其 bode 圖如圖 所示。(lg20 ???? cbco TL ??? () 推出 39。 2?????? ???? () 又根據(jù)公式 039。c? 。 觀察未校正系統(tǒng)的對(duì) 數(shù)幅頻特性，可以選擇 ?b? 作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率。那么，給系統(tǒng)增加一超前 滯后校正控制器，根據(jù)要求，控制器選擇如下： )1)(1()1)(1()(?????sTsTsTsTsGcbaba?? () 其裝置的電路圖如圖 所示。 此時(shí) bode 圖如 所示。將系統(tǒng)添加一零點(diǎn)為 的裝置消去 s 右半平面極點(diǎn)，系統(tǒng)此時(shí)變成最小相位系統(tǒng)。 圖 未補(bǔ)償頻率響應(yīng)圖 由圖 可以看出，該系統(tǒng)明顯不穩(wěn)定。其中，由于波德圖由于方便使用，被廣泛地應(yīng)用于控制系統(tǒng)分析時(shí)的作圖。 頻率法分析是基于頻率特性 )(?jG ，借 助于各種作圖法來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合的。 從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號(hào)的復(fù)數(shù)符號(hào)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)符號(hào)之比，但是，為了研究頻率特性更為廣泛的內(nèi)涵，必須從信號(hào)與系統(tǒng)的關(guān)系出發(fā)，研究其更為深刻的實(shí)質(zhì)涵義。幅角 )(?? 也是 ?的函數(shù)，隨頻率的不同有不同的相位角，因此稱(chēng)為 )(?jG 的相頻特特性。 線(xiàn)性系統(tǒng)在輸入一個(gè)正弦信號(hào) t?sin 時(shí)，它的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也是一個(gè)同頻率的正弦信號(hào)，但是幅值與相位不同。 由于 )(?jG 的實(shí)部和虛部分別都是 ? 的函數(shù)，所以可以表示為： )()()( ??? QPjG ?? () 式中， )](Re[)( ?? jGP ? 為 )(?jG 的實(shí)部； )](Im [)( ?? jGQ ? 為 )(?jG 的虛部。 以傳遞函數(shù)作為線(xiàn)性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，表示為 nnnnmmmm asasasa bsbsbsbsU sYsG ???? ??????????11101110 ......)( )()( () 這是一個(gè)復(fù)自變量的復(fù)變函數(shù)。在頻率分析法中，以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學(xué)模型，以伯德圖或者其他圖表作為分析工具，來(lái)研究、分析控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。當(dāng)輸入時(shí)正弦周期函數(shù)信號(hào)時(shí)，改變輸入信號(hào)的頻率，可得到系統(tǒng) 輸出與輸入振幅之比和頻率的關(guān)系和輸出與輸入相位差和頻率的關(guān)系，這兩種關(guān)系稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率特性。 圖 補(bǔ)償后階躍響應(yīng)圖 由圖 可以看出，經(jīng)校正后系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，反應(yīng)速度也較快，但存在較大的振蕩，可以再設(shè)計(jì)一阻尼系數(shù)比較大的校正裝置使系統(tǒng)性能更好。 這樣，帶有微分校正裝置的新的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)成為 1 3 9 3 1 2 6 1 0 )10( 3 8)()( 230 ??? ?? sss sksGsG gcc () 校正后的根軌跡如圖 所示。 圖 根軌跡圖 此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)只要取適當(dāng)?shù)?Kgc，有可能得到較好的效果，通過(guò)多次用試驗(yàn)驗(yàn)證后，發(fā)現(xiàn)將零點(diǎn)取為 dz =10 時(shí)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)性能較好些。 假設(shè)取零點(diǎn)為 20，則新的開(kāi)環(huán)函數(shù)變?yōu)椋? ))()(( )20()()()(39。結(jié)合上面所畫(huà)圖形，需要使得每條根軌跡都要存在于 s 左半平面，因此，首先添加一新零點(diǎn)將 根軌跡往左移動(dòng)： 那么，可以增加一補(bǔ)償裝置，其電路圖如圖 所示。 由理論知識(shí)可知，增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，可以改變?cè)懈壽E的實(shí)軸分布法則，可以改變?cè)懈壽E的實(shí)軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s 平面上向右移。其中，三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別為： P1=，xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 P2=， P3=，畫(huà)出的根軌跡圖如圖 所示。增加偶極子可以做到： （ 1）基本不改變?cè)懈壽E； （ 2）改變開(kāi)環(huán)增益 Ko，改善穩(wěn)態(tài)性能。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變好，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到滿(mǎn)足。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞，這與系統(tǒng)的 階數(shù)增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差的結(jié)果是一致的。 根軌跡法較正是基于根軌跡分析法，通過(guò)增加新的（或者消去原有的）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或者開(kāi)環(huán)極點(diǎn)來(lái)改正原根軌跡走向，得到新的閉環(huán)極點(diǎn)從而使系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)給定的性能指標(biāo)來(lái)達(dá)到系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求的。傳遞函數(shù)模型表示為： nnnnmmmm asasasa bsbsbsbsU sYsG ???? ??????????11101110 ......)( )()( () 將傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式分解，其特征根分別是系統(tǒng)的零點(diǎn) iz和極點(diǎn) ip ，系統(tǒng)的增益是 00 /abk? 。在設(shè)計(jì)線(xiàn)性控制系統(tǒng)時(shí)，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析和綜合。這種方法叫根軌跡法。 1948年， 提出了一種求特征根的簡(jiǎn)單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用 [20]。 圖 閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 第二節(jié) 根軌跡控制器的設(shè)計(jì)和調(diào)試 一、根軌跡法的基本概念和原理 一個(gè)控制系統(tǒng)的全部性質(zhì)，取決與系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極、零點(diǎn)間接地 研究控制系統(tǒng)的性能。 ?調(diào)節(jié)比例系數(shù) Kd，使增快系統(tǒng)響應(yīng)速度，減小系統(tǒng)調(diào) 節(jié)時(shí)間 xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 Kp=（ Ki=,Kd=） Kp=（ Ki=,Kd=） 圖 Kp改變的階躍響應(yīng)圖 ?調(diào)節(jié)參數(shù) Ki，使更快的消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 Ki=（ Kp=,Kd=） Ki=（ Kp=,Kd=） 圖 Ki改變的階躍響應(yīng)圖 ?調(diào)節(jié)參數(shù) Kd，以保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 Kd=（ Kp=,Ki= Kd=（ Kp=,Ki=） 圖 Kd改變的階躍響應(yīng)圖 由圖 、圖 4和圖 5 可知， Kp 越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，可減少系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間； Ki 越大，系統(tǒng)靜差消除越快； Kd能有效地減少超調(diào)。 運(yùn)用工程試驗(yàn)法對(duì) PID 控制器的三個(gè)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。sH —— 傳感器的傳遞函數(shù) )(1sG —— PID 控制器傳遞函數(shù) )(0sG —— 受控對(duì)象的傳遞函數(shù) )(2sG —— 功率放大器的傳遞函數(shù) 被控對(duì)象傳遞函數(shù)是 ： 1 3 9 3 1 2 6 1 0 3 8)( 230 ???? ssssG () PID 控制器的傳遞函數(shù)是： s KsKsKsG ipd ???21 )( () 傳感器和功率放大器的傳遞函數(shù)分別是： 1178)(39。1 )()()()(39。 三、磁懸浮系統(tǒng)中的 PID 控制 對(duì)于磁懸浮試驗(yàn)系統(tǒng)輸出量為小球的位置 x，其平衡位置為 x0（在被控范圍內(nèi)可任意設(shè)定）。 xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 ?加入微分環(huán)節(jié) 經(jīng)上兩步調(diào)整后，若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不能讓人滿(mǎn)意，可以加入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成PID控制器。 ?加入積分環(huán)節(jié) 如果只用比例控制，系統(tǒng)的靜差不能滿(mǎn)足要求，則只需加入積分環(huán)節(jié)整定時(shí)，先將比例系數(shù)減小 10％ — 20％，以補(bǔ)償加入積分環(huán) 節(jié)作用而引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，然后由大到小調(diào)節(jié) Ki ，在保持系統(tǒng)良好動(dòng)態(tài)性能的情況下消除靜差。 工程實(shí)驗(yàn)法步驟 在工程實(shí)驗(yàn)時(shí)，參考各參數(shù)對(duì)控制過(guò)程的響應(yīng)趨勢(shì)，實(shí)行先比例，后積分，在微分的反復(fù)調(diào)整。 ?微分作用系數(shù) Kd的作用是改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，其作用主要是在系統(tǒng)過(guò)程中抑制偏差向任何方向的變化，對(duì)偏差變化進(jìn)行響應(yīng)。 ?積分作用系數(shù) Ki的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)理論可知： 從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來(lái)考慮， 各參數(shù)的作用如下： ?比例系數(shù) Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。磁懸浮系統(tǒng)是強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)，在實(shí)際過(guò)程中存在很多非線(xiàn)性因 素干擾并且在平衡點(diǎn)線(xiàn)性化得到的系統(tǒng)模型是忽慮了很多非線(xiàn)性因素后得的方法 [19]。 PID參數(shù)整定一般有兩種方法，理論設(shè)xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 計(jì)法和實(shí)驗(yàn)確定法。 在本設(shè)計(jì)中，由于是利用 MATLAB來(lái)是實(shí)現(xiàn) PID控制，故直接調(diào)用 MATLAB中自帶的 PID模塊，僅需要確定 PID控制器的參數(shù)就可以設(shè)計(jì)數(shù)字 PID控制器。而PID控制方案由于它的靈活性和適應(yīng)性很強(qiáng)，在工程上更加易于實(shí)現(xiàn)。增量式 PID控制 算法表達(dá)式為： ( ) ( ( ) ( 1 ) ) ( ) ( ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )p i du k K e k e k K e k K e k e k e k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? () PID控制是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)長(zhǎng)期的工程實(shí)踐總結(jié)形成的一種控制方法。 T為采樣周期， k為采樣序號(hào)， k＝ 1， 2， ?? ，e（ k－ 1）和 e（ k）分別為第（ k－ 1）和 k時(shí)刻所得的偏差信號(hào)。 PID算法的離散化有位置式和增量式兩種 常用實(shí)現(xiàn)方式 [18]。 數(shù)字 PID控制 由于數(shù)字處理器只能計(jì)算數(shù)字量，無(wú)法進(jìn)行連續(xù) PID運(yùn)算，所以若使用數(shù)字處理器來(lái)實(shí)現(xiàn) PID算法，則必須對(duì) PID算法進(jìn)行離散化。積分作用的強(qiáng)弱取 決于時(shí)間常數(shù) Ti， Ti 越大，積分作用越弱，反之越強(qiáng)。 PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下： ①比例環(huán)節(jié) 即是成比例地反映控制系統(tǒng)地偏差信號(hào) e（ t），偏差一旦產(chǎn)生，xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。 圖 PID 控制系統(tǒng)原理框圖 在 PID 控制中，比例項(xiàng)用于糾正偏差，積分項(xiàng)用于消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，微分項(xiàng)用于減少系統(tǒng)的超調(diào)量，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性。其控制規(guī)律為： ])()(1)([)(0???? t Dfp dttdeTdtteTteKtu () 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)形式 )11()( )()( sTsTKsE sUsGdip ???? () 式中， )()()( tytyte sp ?? ， Kp 為比例系數(shù)， Ti 為積分時(shí)間常數(shù)， Td為微分時(shí)間常數(shù) [15]。最后，對(duì)所得控制對(duì)象的模型進(jìn)行開(kāi)環(huán)控制仿真和閉環(huán)控制仿真。 第四節(jié) 本章小結(jié) 本章首先對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行分析，介紹了磁懸浮系統(tǒng)的組成，對(duì)其工作原理進(jìn)行介 紹。 那么得到此時(shí)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖 。那么，可以得到 其仿真圖如圖 所示。即，傳遞函數(shù)為： 1178)(2 ?sG () PID 控制器直接選用 MATLAB 中的給定控制器，參數(shù)如圖 所示。 xxxx 大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 圖 閉環(huán)階躍仿真框圖 圖 所給模型的模塊分別是傳感器、 PID 控制器、功率放大器和控制對(duì)象。接下來(lái)，將使用 PID 控制器開(kāi)穩(wěn)定系統(tǒng)。 圖 開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)仿真圖 從圖 ，此系統(tǒng)是一開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)有一微小擾動(dòng)時(shí)，小球?qū)⑵x平衡位置。 圖 開(kāi)環(huán)階躍仿真框圖 其中，模塊設(shè)置如圖 所示。 Simulink 是一個(gè)用來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線(xiàn)性和非線(xiàn)性系統(tǒng)也支持具有多種采樣速率的多速率系統(tǒng) [14]。 數(shù)學(xué)模型求解函數(shù)如圖 所示。39。39。 , 39。 39。39。39。 綜上所訴，描述磁懸浮系統(tǒng)系統(tǒng)的方程可完全由下面方程確定。 由磁路的基爾霍夫定理可知 )(),( xRxiNi ?? () 式中， N為電磁鐵線(xiàn)圈匝數(shù)， i為電磁繞組中的瞬時(shí)電流，為鐵芯磁通。因此為了準(zhǔn)確分析磁懸