【正文】 由于 Log 算子與視覺生理中的數(shù)學(xué)模型相似，因此在圖像處理領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。 數(shù)學(xué)上可以證明，先求圖像與高斯函數(shù)的卷積，然后再求卷積的拉普拉斯微分的方法得到的結(jié)果和先求高斯函數(shù)的拉普拉斯微分，然后在求其與圖像的卷 積得到的結(jié)果是等價(jià)的，即 東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 24 ? ? ),(*),(),(*),( 22 yxhyxfyxhyxf ??? (325) 式中的 h2? 稱為 Log 算子（ Laplacian of Gaussian 算子），它是一個(gè)軸對稱函數(shù)，是各向同性的。由于在成像時(shí)，一個(gè)給定像素所對應(yīng)場景點(diǎn)，它的周圍點(diǎn)對該點(diǎn)的光強(qiáng)貢獻(xiàn)呈正態(tài)分布，所以平滑函數(shù)應(yīng)反映不同遠(yuǎn)近的周圍點(diǎn)對給定像素具有不同的平滑作用，呈正態(tài)分布的高斯平滑函數(shù)可定義為 ???????? ??? 2 222 2e x p2 1),( ??? yxyxh (323) 式中， ? 是方差。 Marr 和 Hildreth將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測結(jié)合在一起，形成 LOG(Laplacian 一 Gauss)算法。 (2)LOG 算子 前面介紹的梯度算子和拉普拉斯算子實(shí)際上都是微分或差分算法，因此算法對噪聲十分敏感。其它三個(gè)都是 33? 算子，對灰度漸變噪聲較多的圖像處理的比較好。但它的檢測也存在一些缺點(diǎn)，如丟失了一些邊緣、有一些邊緣不夠連續(xù)、對噪聲敏感且不能獲得邊緣方向等信息。 Laplacian 算子是二階微分算子，利用邊緣點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)零交叉原理檢測邊緣。 圖 36 Laplacian 算子的兩種邊緣估算模板 東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 23 Laplacian 算子有兩個(gè)缺點(diǎn)：其一是邊緣的方向信息丟失，其二是 Laplacian算子為二階差分，雙倍加強(qiáng)了圖像中的噪聲影響；優(yōu)點(diǎn)是各向同性，即具有旋轉(zhuǎn)不變性。而對屋頂狀邊緣，邊緣點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)取極小值，這時(shí)對 {f(i,j)}的每個(gè)像素取它關(guān)于 x 方向和 y 方向的二階差分之和的相反數(shù)。在數(shù)字圖像中，可用差分來近似微分運(yùn)算， f(i,j)的 Laplacian 算子為 : ),(4)1,()1,(),1(),1( ),(),(),(222jifjifjifjifjif jifjifjif yx ???????? ?????? (322) 對階躍狀邊緣，二階導(dǎo)數(shù)在邊緣點(diǎn)出現(xiàn)零交叉，即邊緣點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)取異號。圖像中的每個(gè)點(diǎn)都用 8 個(gè)模板進(jìn)行卷積，每個(gè)模板對某個(gè)特定邊緣方向作出最大響 應(yīng)，所有 8 個(gè)方向中的最大值作為邊緣圖像輸出，與 Sobel算子相比只是權(quán)值有所不同。這些算子模板由理想的邊緣子圖像構(gòu)成。當(dāng)對精度要求不是很高東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 21 時(shí)，是一種較為常用的邊緣檢測方法。Sobel 算子利用像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)的灰度加權(quán)算法，根據(jù)在邊緣點(diǎn)處達(dá)到極值這一現(xiàn)象進(jìn)行邊緣的檢測。 Sobel 算子的一個(gè)核對垂直邊緣影響最大，而另一個(gè)核對水平邊緣影響最大。 Sobel 算子很容易在空間上實(shí)現(xiàn)， Sobel 邊緣檢測器不但產(chǎn)生較好的邊緣檢測效果，而且受噪聲的影響也比較少。 圖 32 Roberts算子邊緣檢測 Sobel 算子 對數(shù)字圖像 {f(i， j)}的每個(gè)像素點(diǎn)，考察它上、下、左、右鄰點(diǎn)灰度加權(quán)差，與之接近的鄰點(diǎn)的權(quán)值大。它適合于得到方向不同的邊緣，對不同方向的邊緣都比較敏感，檢測水平和垂直邊緣的效果好于斜向邊緣，定位精度高。 圖 31直方圖 Roberts 算子 Roberts 邊緣檢測算子根據(jù)任意一對互相垂直方向上的差分可用來計(jì)算梯度的原理，采用對角線方向相鄰兩像素之差，即 )1,1(),( ????? jifjiffx ),1()1,( jifjiffy ????? (317) ffjiR yx 22),( ???? 或 ffjiR yx ????),( (318) 它們的卷積算子為 ?????? ?? 10 01:fx ???????? 01 10:fy (319) 有了 fx? ， fy? 之后，很容易計(jì)算出 Roberts 的梯度幅值 R(i,j)，適當(dāng)取門限 T，作如下判斷： R(i,j)T,(i,j)為階躍狀邊緣點(diǎn)， {R(i,j)}為邊緣圖像。為了檢測出圖像物體的邊緣，把直方圖用門限 T 分割成兩個(gè)部分，然后對圖像 f(i,j)實(shí)施以下操作。對檢測圖像中目標(biāo)的邊緣效果很好。圖像直方圖是圖像處理中一種十分重要的圖像分析工具，它描述了一幅圖像的灰度級內(nèi)容，任何一幅圖像的直方圖都包含了豐富的信息。 經(jīng)典邊緣檢測方法綜述 本節(jié)內(nèi)容中主要介紹常見的邊緣檢測方法，包括 Roberts 算子， Sobel 算子，Prewitt 算子以及 Laplacian 算子等，然后對它們的檢測效果進(jìn)行比較。這就是常說的多尺度邊緣提取算法。但另一方面，隨著尺度的增大，圖像的平滑度加深，圖像邊緣也因平滑變粗，因此定位精度降低；反之，當(dāng)尺度 w 變小時(shí)，濾波后的圖像的信噪 比降低，檢測出的圖像邊緣的可靠性也隨著下降，但是邊緣的定位精度卻升高。39。39。如果 w 越大，則檢測出的邊緣的效果就越好，噪聲的影響越少，但是定位就變得越不準(zhǔn)確。 尺度對性能指標(biāo)的影響 濾波器的尺度選擇一直是邊緣檢測的一大難題。? (313) 也是一個(gè)決定于圖像濾波器的系數(shù)。0 )()0(nAdxxffnAL o c (312) 式中， ? ????? dxxff)()0(239。 (311) 將式 (38)代入式 (311)得階躍邊緣的定位精度 ???? ? ????0239。039。 定位精度指標(biāo)記的邊緣點(diǎn)與實(shí)際邊緣點(diǎn)的位置偏差的導(dǎo)數(shù)。設(shè)邊緣點(diǎn) x=0 附近的灰度值的函數(shù)為 G(x)，濾波器的脈沖響應(yīng)為 f(x)，干擾為均值等于零的高斯噪聲 n(x)，定義濾波后圖像的信噪比為 ???? ??WWWWdxxfndxxfxGS N R)()()(20 (37) 東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 17 ???????0,00,)()(xxAxAuxG式中 0n 為單位長度內(nèi)噪聲的均方根幅值。由此可見，圖像邊緣的誤檢率是濾波后圖像 ),(? yxE 的信噪比(SNR)單調(diào)下降函數(shù)，我們可以用圖像 ),(? yxE 的信噪比 (SNR)近似表示圖像邊緣的誤檢率。邊緣的誤檢率指實(shí)際邊緣點(diǎn)漏檢和虛假邊緣點(diǎn)誤檢兩種錯(cuò)誤發(fā)生的概率。在計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度急劇上升的今天，算法的計(jì)算量和復(fù)雜 程度己降至相對次要的位置，這使得性能相對優(yōu)越的濾波類邊緣檢測方法，成為圖像邊緣提取技術(shù)的主要發(fā)展方向?；诙尉讲钭钚〉?Prewitt 正交多項(xiàng)式逼近的過程，本質(zhì)上也是對圖像局部進(jìn)行平滑濾波。 Prewitt 的多項(xiàng)式擬合邊緣的方法也可以歸于這一類。 Canny 算子是 4個(gè)指數(shù)函數(shù)的線性組合，實(shí)際應(yīng)用中可用高斯函數(shù)的梯度來近 似。 Canny在這方面的工作很具有代表性。 東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 16 Marr和 Hildreth方法本質(zhì)上是用 LOG算子 (Laplacian of Gaussian) G2?對原始圖像進(jìn)行直接濾波提取圖像邊緣。由于邊緣點(diǎn)應(yīng)是圖像中灰度值的劇變嗲，在這些點(diǎn)上圖像灰度的一階導(dǎo)數(shù)取極大值，二階導(dǎo)數(shù)為零。 Marr 等人先用高斯 (Gauss)函數(shù) )2ex p (2 1),( 2 222 ???? yxyxG ??? (33) 對原始圖像 E(x,y)進(jìn)行平滑濾波，得到 ),(*),(),(? yxEyxGyxE ?? (34) 其中 ? 是一個(gè)尺度參數(shù)， ? 小，則高斯函數(shù)能量“集中”，僅在原圖像一個(gè)很小的局部范圍內(nèi)進(jìn)行平滑；與此相反， ? 大則意味著在較大范圍內(nèi)進(jìn)行平滑。為了克服高頻噪聲的影響，一個(gè)可行的方案是先對圖像進(jìn)行平滑濾波，抑制高頻信號，再用經(jīng)典的方法進(jìn)行邊緣增強(qiáng)。但這類邊緣檢測算子本質(zhì)上都是高通濾波器，它們在增強(qiáng)邊緣的同時(shí)也同樣的放大了引起邊緣劣化的高頻噪聲，從而影響了邊緣點(diǎn)的定位準(zhǔn)確性和定位精度。如 Sobel東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 15 算子的窗口寬度 L=3，其在 x 方向的權(quán)系數(shù)矩陣為 ??????????????101202101W (32) 顯然，通過適當(dāng)選取窗口寬度和權(quán)系數(shù)矩陣，這類算子在一定程度上能起到抑制噪聲的作用。一般的數(shù)學(xué)模型是 jiji PWE , *? (31) 式中， jiE, 為像素點(diǎn) (i,j)的邊緣強(qiáng)度， jiP, 為像素點(diǎn) (i,j)周圍尺度為 L? L的領(lǐng)域 (L 也稱為窗口寬度 )， W為權(quán)系數(shù)矩陣，它與像素點(diǎn)位置無關(guān)。 后來人們對上述邊緣檢測方法進(jìn)行改進(jìn)，提出 Roberts 算子、 Prewitt 算子、Sobel 算子、 Kirsch 算子等多種邊緣檢測算子。這種高頻噪 聲引起的劣化將使得邊緣點(diǎn)的位置偏移理想的位置。根據(jù)邊緣點(diǎn)的這些特性，人們提出了基于圖像灰度一階導(dǎo)數(shù)、梯度、二階導(dǎo)數(shù)以及更為復(fù)雜的 Laplacian 算子等提取圖像邊緣的方法。下面分別對這兩類方法進(jìn)行簡單介紹。常用的邊緣檢測算子有 :Roberts 算子， Sobel 算子，Prewitt 算子以及 Laplacian 算子等。 東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 14 3. 傳統(tǒng)邊緣檢測算法的研究與分析 本章對圖像邊緣檢測方法分類、圖像邊緣檢測評價(jià)指標(biāo)、尺度對邊緣檢測結(jié)果的影響及傳統(tǒng)的邊緣檢測算法作了一個(gè)全面的介紹，并對傳統(tǒng)邊緣檢測算法的檢測效果進(jìn)行分析比較。采用 Gauss 模板就能夠?qū)崿F(xiàn)加權(quán)平均法圖像平滑。 從廣義上講，所有實(shí)現(xiàn)圖像平滑的方法都是對圖像進(jìn)行了低通濾波。 設(shè)輸入圖像 ? ?yxf , 為 NM? 像素陣列，低通濾波器沖擊響應(yīng) ? ?yxh , 為 LL?二維陣列，則低通濾波結(jié)果為 NM? 像素陣列 ? ? ? ?? ?? ? ??????? ????? lm ln nmhLnyLmxfyxg 0 0 ,2,2, (25) 通常采用的低通濾波器沖擊響應(yīng)陣列有 ???????????111111111911h ???????????1111211111012h ???????????1212421211613h (26) 通常，低通濾波器沖擊響應(yīng)陣列又叫做低通卷積模板。對于圖像而一言，它的 邊緣以及噪聲干擾頻率分量都處于頻率域較高的部分，因此可以采用低通濾波的方法去除噪聲。 圖 23高斯噪聲中值濾波 圖 24椒鹽噪聲中值濾波 由中值濾波的結(jié)果可知，相對于椒鹽噪聲，中值濾波對于椒鹽噪聲的濾除效果更好。此外，常規(guī)的濾波算法使窗口每移動一次，就要 進(jìn)行一次排序，這種做法實(shí)際上包含了大量重復(fù)比較的過程。要進(jìn)行排序，就必須對序列中的數(shù)據(jù)像素做比較和交換，數(shù)據(jù)元素之間的比較次數(shù)是影響排序速度的東華理工大學(xué)長江學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 圖像濾波 12 一個(gè)重要因素。使用二維中值濾波更值得注意的是就是保持圖像中有效的細(xì)線狀物體。不同形狀的窗口產(chǎn)生不同的濾波效果，使用中必須根據(jù)圖像的內(nèi)容和不同要求加以選擇。對二維序列進(jìn)行中值濾波時(shí)，濾波窗口也是二維的，將窗口內(nèi)像素排序，生成單調(diào)數(shù)據(jù)序列，二維中值濾波結(jié)果為 )( ijij xM edg ? (24) 一般來說，二維中值濾波比一維中值濾波更能抑制噪聲。例如，由一個(gè)序列（ 20,10,30,15,25），從大到小排列后序列為（ 10,15,2