【正文】 而每一篇好的論文又能為大家所分享和閱讀，這真是一種善緣，愿我們在這樣的關系中能成長和進步。正是因為有你們，才使得這篇論文能完整的呈現(xiàn)在這里，才能是自己完成了這個令人興奮的任務。王老師指引我的論文的寫作的方向和框架，并對本論文初稿進行逐字批閱，指出論文中需要修改的地方，使我有了思考的方向，他的循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪，他的嚴謹細致、一絲不茍的作風，將一直是我以后工作、學習中的榜樣。 南京師范大學泰州學院本科畢業(yè)論文 20 謝 辭 論文得以完成，要感謝的人實在太多了。21 ?????? ??? xxfxfxf 。 ?? Mxf 。lim xfx，證明： )(xf 在 ? ???，1 上非一致連續(xù) . 證：由 ?????? )(39。 ?????? nxxnnxnxnnnn但2121)()( 222 ????????? ???? nnnnxfxf nn ，所以 2x 在 ? ???,0 上非一致連續(xù)。 證 :（ 1）因為 )(xf 在 ? ?a,0 上連續(xù)，根據 Cantor 定理知在 ? ?a,0 上一致連續(xù)； (2) 令 01,1, 39。21 ))(()()( ① 其中 ? 在 21,xx 之間， 由①式 xxxf ln)( ? 在 ? ???,1 上一致連續(xù)。 xf 在 ? ???,1 上有界，設 ? ????? ,1,)(39。 ????????????????? xxxxxxfxxxx. 12 2ln)( limlim 139。 ?? xx xxf ， ? ???? ,1x . 故 )(39。 ??? xxxf， ? ???? ,1x ， 04ln)(39。 xfx（常數或 ?? ） ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù)的充要條件是 ? 為常數 . 南京師范大學泰州學院本科畢業(yè)論文 18 例題 ：函數 xxxf ln)( ? 在 ? ???,1 上一致連續(xù)。2(2 )()( 2121 xxfxfxf ??? )(,)2( xfIx ??? . 和 )(xf? 都存在 )3( 在 I 上處處擬可導 ,且擬導數有界 . 則函數 )(xf 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 若函數 )(xf 在區(qū)間 I 上滿 Lipschitz 條件 ,即存在常數 0?L ,使對任何 Ixx ?21, ,都有 2121 )()( xxLxfxf ??? ,則函數 )(xf 在 區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 在區(qū)間 I 上可導 ,且 )(39。 有限區(qū)間上函數的一致連續(xù)性及例題 南京師范大學泰州學院本科畢業(yè)論文 16 (一致連續(xù)性 ) 若 f 是有限閉區(qū)間 [ , ]ab 上的連續(xù)函數 ,則 f 必在 [, ]ab 上一致連續(xù) . 證 :(利用有限閉區(qū)間的稠密性反證 ) 假定連續(xù)函數 f 不一致連續(xù) ,即 0???和 {}nx ,{}ny ? [ , ]ab,使得 lim ( ) 0nnn xy?? ??,并且 ( ) ( )nnf x f y? ?? , n? ?? .取 {}nx 的一個子列 {}nkx 收斂于 0 [ , ]x a b? ,則 {}nky 也收斂于0 [ , ]x a b? ,從而 0 l i m ( ) ( ) 0nnkkn f x f y ???? ? ? ?,得到矛盾 .□ (最大值和最小值的可達性 ) 若 f 是 有限閉區(qū)間 [ , ]ab 上的連續(xù)函數 ,則必00, [ , ]x y a b??,使得 0( ) m in ( )a x bf x f x???, 0( ) m ( )a x bf y ax f x???. 作為推論 ,f 在 [ , ]ab上有界 . 證 :( 利 用 有 限 閉 區(qū) 間 的 列 緊 性 ) 僅 證 最 小 值 的 可 達 性 . 令in f ([ , ])m f a b ???,由167。39。 證 ： 0??? ，取 L??? ，則當 Ixx ?21, 且 ??? 21 xx 時 ,)()(212139。39。 )(xf 在區(qū)間 I上滿足利普希茨條件： ,)()( 212139。()( yfyf 。 Ryy ????? , ： Tyy ?????? ? ， 存在整數 N ，滿足 NTy?? ， ? ?TNTy 2,0???? ， 因為 ???????? )()( NTyfNTyf ， 所以 ???????? )()( NTyfNTyf ，即 ???? )39。 證明 設 0?T 是一個周期，因為 )(xf 在 R上連續(xù)，且 )(xf 在 ? ?T2,0上連續(xù)，所以一致連續(xù)。 xx 必同時在三個區(qū)間之一，所以 )(xf 在 ),( ???? 一致連續(xù)。39。 證法類似，分別區(qū)間為 ),( M??? ， ]1,1[ ??? MM ， (M ， +? )。 南京師范大學泰州學院本科畢業(yè)論文 15 綜上所述， )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù)。()39。 ?? Maxx ，一定得出 ??? |)39。39。39。| ???xx 或 39。39。 ???? axx 。39。()39。| xx ， 有 ??? |)39。39。,39。 所以對上述 0?? ， ]1,[39。 則 ?2|)(||)(||)()(||)()(| 212121 ?????????? AxfAxfxfAAxfxfxf 。 證明：由 Axfx ???? )(lim知， MxM ?????? ,0,0? ，有 ??? |)(| Axf 。 證明：由單調有界性知， )0(),0( ?? bfaf 存在，由 (3)知 )(xf 在 ),( ba一致連續(xù)。 (充分性 ) 令 ???????????bxbfbaxxfaxafxF),0(),(),(),0()( 則由 )(xf 在 ),( ba 連續(xù)知， )(xF 在 ],[ ba 連續(xù)從而一致連續(xù)。()39。 由上式可以推出 ??? |)39。39。| xx * ， 也有 ???? |39。39。,39。 取 ??? * ，則當 ),(39。 下面只證 )0( ?af 存在， )0( ?bf 的證法與之類似。 2. 函數 )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 一致連續(xù) ? 函數 )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 連續(xù)，且 )0(),0( ?? bfaf 都存在。39。 |)()(| ??? kk nn xfxf （ 2） 現(xiàn)讓 (2)式中 ??k ，再由 f 在 ],[ ba 連續(xù)性知 039。39。 xxkn? ( ??k ) 。39。 同 時 也 有knn nxx kk1|| 39。由致密性定理 , ?收斂子列 }{knx?， ],[039。 |)()(| ??? nn xfxf (1) 當 n取遍自然數時，得數列 ],[}{ 39。39。39。 baxx nn ? ，雖然 nxxnn 1|| 39。39。(| ??? xfxf 。39。39。 baxx ? ，雖然 ??? |39。39。 南京師范大學泰州學院本科畢業(yè)論文 13 主要結論與證明 f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則 f 在 ],[ ba 上一致連續(xù)。 證 ：由例 5可知 cxfx