【正文】 于是，再由集值映射 j 的上半連續(xù)性，( )( ) ( )0 0 0y T x xjy? ，根據定理， y 有不動點，使得 ( ) ( )( )x x T xyj? 注意， j 的值域含在集合 X 之中，所以 xX206。 ，則由映射 T 的連續(xù)性，有 ( ) ( )0nT x T x174。 ， ( )nnyxy206。 ， ( ) ( )( )x T xyj= 則 y 取值非空凸閉集，且是上半連續(xù)的。令 ( )T x y= 。 ，設點 y 是 X 中距離點 x 最近的點，即有 m inxXy x x z206。 當 xX207。定義映射 :T S X174。 證明：因為 X 是有界集合，故可嵌入到某單純形 S 內，即 XS208。 為凸緊集，集值映射 :2XXj 174。數理經濟學家 Scarf 曾通過一種計算不動點的算法而提供了一個構造性證明，其中不動點的存在性是由這個定理所保證的。 定理證完。 注 意 ，110. . . , 0 , 1nnn i iix a y a y a a== + + ? 229。 ， 1,2,...,in= 又因為 j 是 上 半 連 續(xù) 的 ， 所 以 ( )iyxj206。 ， ( )0 1,n m i m m iii yvaj= =?229。 ，使得 ( )m m mxxj= 。 顯然， :m SSj 174。，此處 ( )mixj 已知前確定。，其中，0 1, 0niii aa= =?229。 當 xS206。 是某小胞腔的頂點，則任取 ()yxj206。對于剖分 mD ，定義單值映射 :m SSj 174。 。 取值非空凸閉集，而且是上半連續(xù)的，則 j 有不動點，即存在 xS206。 定理 （ Kakutani， 1941）：設 nSR208。 通常稱 iS 為 S 的單純形剖分的一個胞徑腔，并記的直徑為 iS 。 稱為 S 的單純形部分，如果滿足下列條件：1k iiS US==； ijSS??，或者 iS 與 jS 相交于頂點，或者相交于一個端面( )ij185。 其中 10, 1niiiaa=? 229。如果 xS206。 11| , 0 , 1 , 0rrij i j i iiiS x S x va a a a==禳镲镲= ? = = ?睚镲镲鉿 邋 為單純形 S 的一個端面（與頂點 jv 相對），它相當于以 1 1 1, ..., , , ...,j j rv v v v+為頂點的凸包。 ，總有 11, 1 , 0rrii i iiixva a a=== = ?邋 而且表示法唯一。 1 維單純形是直線段， 2 維單純形是三角形， 3 維單純形是四面體。當函數 ()fx定義在 ? ?0,1x? 區(qū)間上且因變量 ( )y f x= 的值域也為 []0,1 區(qū)間時，如果 ()fx是連續(xù)的，則必然存在不動點。 對于這樣一種非常一般地的問題，數學家們感到十分高興的是居然在不太嚴格的條件下式 ()存在解，即不動點是較為廣泛地存在的。一般地，我們可以將所有的方程都寫為如下形式： () 0yx= () 在式 ()兩端加上一個 x ，則變?yōu)?( )y x x x+=。 ，使得 ( )f x x= 。 是凸緊集，映射 :f X X174。 。特別地，當 : XXj 174。 是 j 的不動點，如果 ( )xxj206。 定義 ：設集值映射 : XXj 174。 納什均衡與不動點定理 關于不定點的定理 所有的存在性定理證明都采用了不動點定理，這是因為，納什均衡的概念在數學上就是一個不動點的概念。 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設計（論文） 15 納什均衡的存在性定理 自從納什首先給出存在性定理及其證明之后，許多學者又相繼提出了不同表述下的存在性定理和不同的證 明方法。但不幸的是，這類努力還未使得多重均衡問題完全得到解決，許多博弈論專家正在這一領域進行著不懈的工作。納什均衡的多重性問題至今仍是困擾博弈論學者的一個主要問題。 納什在 1950 年代證明了納什均衡的存在性定理，為非合作博弈打下了重要基礎。再加上前面談到的存 在性問題，我們可以這樣說，模型能否具有科學意義取決于納什均衡的存在性和唯一性，因為這正是科學理論所具有的基本性質。一個自然的推論就是：模型能否具有科學意義取決于納什均衡的唯一性。除了存在性之外，概念事物的唯一性也是數學家們所關心的問題。 有許多被稱為偽科學的東西，它們之所以被人們認為是“偽科學”的原因就是它們大肆談論的東西并不存在或并未被證實其存在性。因而根據波普爾的證偽主義觀點，這樣的研究不具備科學上的意義。所以，倘若某個概念所對應的事物并不存在。 納什均衡 對于數學家來說，一個數學概念的存在性與唯一性是特別需要加以關注的。 *iiss? 多維均衡意味著對所有局中人，上式同時成立。 多維均衡 多維均衡就是指在多維博弈中的所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略組合，一般記為 ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 1 2 1 2* , , . . . , * , . . . , , , . . . , * , . . . , , , . . . , *m i i i m n n n ms s s s s s s s s s= 其中， ( )12, ,..., *i i ims s s 是第 i 個局中人的所有可能的戰(zhàn)略中使 iU 或 iEU 最大化的戰(zhàn)略。 分別是參與人 i 和 j 領域內和 k 領域內的行動，且行動 ijs 和 iks 可能存在著一定的相互聯(lián)系或影響，即在一個領域內所選擇的行動可能影響到其他領域內行動的選擇。 特征 假設有 n 個 局中人在 m 個領域內（或在 m 個方面）同時進行多維博弈，那么，其具體的特征可以描述為： (1) 在 博 弈 的 每 個 階 段 ， 局 中 人 i 選 擇 一 個 m ( )2m179。如兩個國家 (或多個國家 )同時在經濟 、科技和軍事領域內競爭和對抗；兩個企業(yè) (或多個企業(yè) )同時進行多種產品的價格 (或產量 )博弈，且產品之間存在著一定的相互的影響 (或替代性 )；兩個企業(yè) (或多個企業(yè) )關于某一種產品同時在廣告中投入、服務投入和價格方面進行博弈；等等。即使是一個非合作二人對策，兩個局中人的利害關系也可能不是絕對對抗性的 .當然，這時對策不再是零和的，因為零和必然是對抗性的。每個局中人的目標也是希望自己得到盡可能多的支付，尋求一個對自己盡可能最有利的策略。 )又可以分為非合作對策和合作對策。每個局中人尋求一個對自己一方最有利的策略，這個策略必然也是對另一方損害最大的策略。 前兩章討論的都是由兩個局中人參加的對策，并且都是零和對策。 納什的非合作博弈論概括應該被看成經濟學和社會科學在長期演化中的一個偉大轉折點。 在納什之前，價格理論是經濟學所能得到的一個一般性分析方法。要應用非合作博弈論的方法，經濟學家有必要概括和分析市場和其他社會制度的博弈模型。非合作博弈研究人們在利益相互影響的局勢中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。 定義 ：稱支付函數是連續(xù)函數的無限對策為 連續(xù)對策。 ，是用某種隨機的方法選出的數小于或等于 x 的概率，也就是隨機變量的值小于或等于 x 的概率。 式 () 如果 ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , m in m a x ,yyxxP x y P x y＃＃＃＃= 式 (36) 則存在點 ( )*, *xy 是支付函數 ( ),Pxy 或對策的一個鞍點， ( ),Pxy 在鞍點處的值 ( )*, *v P x y= 式 (37) 稱為對策的值。 使 得上面 這個最大值為最小，即 ( )0101min max ,y x P x y＃ ＃ 式 (34) 不論局中人 1 采取什么策略，局中人 2 最多付出 式 (),或者說，局中人 1 得到的支付不會超過 式 ()。 ，他至少可以得到支付 ( )01min ,y P x y＃ 式 (31) 局中人 1 希望支付越大越好，因此，他將選擇 ? ?0,1x? 使得上面這個最小值為最大，即 ( )0101max min ,yx P x y＃＃ 式 (3 .2) 不論局中人 2 采用什么策略，局中人 1 至少可以得到支付 式 ((3 . 2) . 同樣，對于局中人 2 選定的一個固定的 [ ]0,1y206。 例如，局中人 1,2 互相獨立地從 [0,1]中分別選擇一個實數 x 和 y ，支付函數 ( ) ( )2,P x y x y= 這樣確定的對策就是定義在正方形 0 1, 0 1xy＃＃ 上的一個零和二人無限對策。選定 x 和 y 后，就確定了對策的一個局，其結果用一個支付函數 ( ),Pxy ，局中人 2得到支付 ( ),P x y ，或者 說局 2付給局中人 ( ),Pxy .這種對策稱為無限對策。 定義 ： 局中人 1 從區(qū)間 [0,1]中選擇一個數 x ,局中人 2 完全獨立的 從區(qū)間 [0,1]中選擇一個數 y 。 式 (222) 式 ()和 式 ()表明， ( )*, *XY 是 tXAY 的一個鞍點。 式 (221) 同理，對于一切 nYS206。 = 因此，對于一切 mXS206。163。 163。 * * 39。 = 式 (217) m in m a x m a x *m nmttYS X S X SX A Y X A Y206。 充分性。＃ 式 (214) 由 式 ()和 式 ()得到 m in m a x m a x m inmmnnttY S Y SX S X SX A Y X A Y撾 撾 163。 163。 * *n mtYS XS X A Y X A Y206。 163。 成立。這就是說，不等 式 * * * *X A Y X A Y X A Y＃ 式 (212) 對于一切 mXS206。設 39。 證明：必要性。 206。206。206。局中人 1 可以選擇 mXS206。 ， 1,...,jn= ，1 1nij y= =229。 ，則它的期望支付至少是 11m innmnij i jYS ija x y206。 ， 1,...,im= ，1 1mii x= =229。局中人 1 以概率 ix 選用策略 i ，局中人 2 以概率 jy 選用策略 j 。 ， 1,...,jn= ，滿足 1 1nij y= =229。 ， 1,...,im= ，滿足 1 1mii x= =229。 設矩陣對策矩陣 ( )ijAa= ，其中 1,...,im= ， 1,...,jn= 。這時，概率分布 ( )12, ,...,i i iKp p p 就是參與者 i 的一個混合戰(zhàn)略，其中 01ikp＃ 且 12 ... 1i i iKp p p+ + + =，概率不同就構成參與者不同的混合戰(zhàn)略。一個參與者的混合戰(zhàn)略就是規(guī)定他以某種概率分布隨機去選擇不同的行動。 定義 ： 規(guī)范的表述，參與者 i 的混合戰(zhàn)略是在其戰(zhàn)略空間 iS 中戰(zhàn)略 is 的概率分布 ，is 稱為純戰(zhàn)略。 定義 ： 混合策略： 是指參與者以一定的概率去選擇某種戰(zhàn)略。 混合策略 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設計（論文） 7 在博弈中，一旦每個參與者 都在竭力猜測其他參與者的戰(zhàn)略選擇 ，而不能通過收益函數作出最有反映，那么在這類博弈中，因為最有行為是不確 定的，所以就不存在納什均衡。231。 247。 247。 247。 247。247。 247。例如矩陣對策： 0 00Aeeeeee驏 247。其中 31a = 32a = 33a =v =3。231。231。231。= 231。231。231。231。但對于不同的鞍點支付值是相同的，且都等于對策的值。 1 1minmax ijim jna＃ ＃