【正文】 ? ， 所以 *39。 14. 證明 求 l0(x)的各階均差． ), . . . ,2,1(0)(,1)( 000 nkxlxl k ??? 一階均差：1010101000100 101)()(),( xxxxxx xlxlxxl ???????? )1,...,2,1(000)()(),( 010 ?????????? nixxxx xlxlxxljijijiii 二階均差： ))(( 1))(( 01),(),(),( 2020202030 2101002100 xxxxxxxxxx xxlxxlxxxl ????? ????? )2,...,2,1(0))(( 00),(),(),( 212 2110210 ????? ????? ??? ????? nixxxxxx xxlxxlxxxl iiiiii iiiiiii類似地，有 ))()(( 1),( 3202032100 xxxxxxxxxxl ????， )3,...,2,1(0),( 3210 ?????? nixxxxl iiii ?? ?? )) ...()(( 1),...,( 020202100 nn xxxxxxxxxxl ???? 做 l0(x)的牛頓插值多項(xiàng)式 )) . . . ()(( )) . . . ()((...))(( ))((1)( 02020 1102020 1010 00 nn xxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxx xxxl ??? ??????? ??????? ? 五、計(jì)算題 1. 解： * ?x 2. 解： ,5m a x,6m a x231 ,31131 ,31 ?????? ?? ??????? AaAaA i jijj jii 3. 解：由題設(shè)可知 ?? ??? * ** )( x xxxr )( *** xxxx ?? ???? 又由 )()())(( **39。 高斯－賽德?tīng)柕仃嚍? G＝－ ＝－ 解得特征根為 ?1=0， ?2,3=2。 10. 證明：當(dāng) =1時(shí)，公式左邊： 公式右邊： 左邊 ==右邊 當(dāng) =x時(shí) 左邊： 右邊： 左邊 ==右邊 當(dāng) 時(shí) 左邊： 右邊： 左邊 ==右邊 當(dāng) 時(shí) 左邊： 右邊： 左邊 ==右邊 當(dāng) 時(shí) 左邊： 右邊： 故 具有三次代數(shù)精度 11. 證明：（ 1）因 ，故 ，由 Newton迭代公式： n=0,1,? 得 ， n=0,1,? （ 2）因迭代函數(shù) ，而 ， 又 ，則 故此迭代格式是線性收斂的。由于 ???? )()( xf n ,故有 ?????nk k xl )(。證畢。證畢。 四、證明題 1. 證明：設(shè) )())(()( 21 nxxxxxxx ???? ?? ，任意次數(shù) 1??n 的 多項(xiàng)式 )(xp ，則 )()(11 1? ?? ?? nk kk xfAdxxf 對(duì)于 )()( xxp ? 是次數(shù) 12 ?? n 的多項(xiàng)式。 9. 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)：若 n 階矩陣 )( ijaA? 的各行元素滿足下列條件 ???? nijjijii aa 1 ， ni ,2,1 ?? 則稱矩陣 A是對(duì)角占優(yōu)的；如果式子中是嚴(yán)格的不等號(hào)成立，則稱為矩陣 A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的。 7. 代數(shù)精度：如果求積公式對(duì)于一切次數(shù) m? 的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的，而對(duì)于次數(shù)為1?m 的某一多項(xiàng)式并不成立，則稱該求積公式具有 m 次代數(shù)精度。 5. Chalisky 矩陣分解： 對(duì)于對(duì)稱正定的系數(shù)矩陣進(jìn)行如下的分解： TLDLA? ，其中矩陣 L 為對(duì)角元素為 1的下三角矩陣， D 為對(duì)角矩陣， TL 是 L 的轉(zhuǎn)置矩陣。 31. 四 32 (1), e = － *10－ 2, er=*10－ 3； (2) － 393 , e=－ , er=*10－ 3； (3), e = － *10－ 5, er=*10－ 3 33.(1) e= 102 (2) 10－ 1 34.(1) 2 (2)3 (3)2 35. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為 0 36. ????? ?? xx , 37. ))() ...(( ))() ...(( ?????? ??? ??? ??? xxxxxx xxxxxx 38. ?????? ??nk kk xaay )( 39. x+1 40. 唯一的 41. 牛頓－科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù) . 42. 5次 43. 點(diǎn)的切線 兩點(diǎn)的連線 44. ?????? )(,)( ff ?? ??????????? .lnln)( xx? 1 45. f ?(x)?0 46. ),( kk yxhf ),(),( ????? kkkk yxfyxf 47. , . . . ) ,(.. ????????????????????? ky k 48. ?????????? ?????? ???? ykkyy kk ,...,],).( ..[ 49． 50．－ 2x2＋ ＝ 51． f(0) f(1)＜ 0 52． O(h4) 53. 局部平方收斂 54. 1 55. 4 56. 三階均差為 0 57. n 58. ba 59. 60. 1 61. 二階方法 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 收斂 70. O（ h） 71. 三、名詞解釋 1. Lagrange 的 n 次 插 值 基 函 數(shù) ：)())(())(( )())(())(()( 1110 1110 nkkkkkkk nkkk xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxl ????? ?????? ?? ?? ?? ?? （ Euler ）法： 預(yù)測(cè) ),(1 nnnn yxhfyy ??? ；校正 )],(),([21 111 ??? ??? nnnnnn yxfyxfyy 3. 局部截?cái)嗾`差： 在分析算法公式的誤差時(shí)，為簡(jiǎn)化分析，在 ny 為準(zhǔn)確的前提下，也就是在 )( nn xyy ? 的前提下，估計(jì)誤差 11)( ?? ? nn yxy ，這種誤差稱為局部截?cái)嗾`差。 15. 當(dāng) n 增大時(shí)，插值函數(shù) )(xpn 在插值區(qū)間的兩端發(fā)生劇烈震蕩的現(xiàn)象 16. 0 0 6 2 1 112 ????? ??? 17. 高斯－賽德?tīng)? 18. 2x－ 1 19. ?? ?nk kk xy12))(( ? 或 ?? ???nk kkk xaxaay122210 )( 20. 不超過(guò) m 次 21. 10－ 2 22. )1(max ??? kiknik a 23. － 24. )()(0)( 。 10. 1)( ?G? 。2 afbfh ?? 。 5. 順序消去法 列主元消去法 全主元消去法 6. 2n+1 7. ? ??ba nTdxxf )( )]()([12 39。試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為 Gauss型的？ 39. 推導(dǎo)常微 分方程的初值問(wèn)題 的數(shù)值解公式： 40. 指出下列微分方程的階數(shù)： (1) xy y x??? ?? ? 0； (2) x y yy x( )? ? ? ? ?2 23 0； 41. 一塊甘薯被放于 200 ℃ 的爐子內(nèi)，其溫度上升的規(guī)律用下面的微分方程表示： d ( 200)dH kHt ? ? ? 其中 k 為正值 . (1) 如果甘薯被放到爐子內(nèi)時(shí)的溫度為 20 ℃ ，試求解上面的微分方程 . (2) 根據(jù) 30 min 后甘薯的溫度達(dá)到 120 ℃ 這一已知條件求出 k 的值 . 42. 某銀行賬戶中的存款以年增加率 r (這里利率為 5 % 表示 r=)連續(xù)增長(zhǎng) . 假設(shè)有 1 000 美元于 1970 存入此賬戶中 . (1) 試列出此賬戶中存款數(shù)額 M 在時(shí)刻 t (以年為單位，從 1970 年算起 )所滿足的微分方程 . (2) 解 (1)中所列微分方程 . 43. 在某些化學(xué)反應(yīng)中，某種物質(zhì)的數(shù)量隨時(shí)間改變的速率是與這一物質(zhì)當(dāng)時(shí)的數(shù)量的多少成正比的 . 例如， ? – 葡糖酸的情況就符合上述規(guī)律 . (1) 寫出 ? – 葡糖酸當(dāng)前量 y 隨時(shí)間 t 變化所滿足的微分方程 . (2) 如果 1 h 內(nèi) 100 g 的 ? – 葡糖酸減為 g，那么 10 h 后還剩下多少 g？ 44. 假設(shè)在某冬季下午 1 點(diǎn)的時(shí)候，你家里突然停電了，并且你的電暖器沒(méi)有電就不再工作 . 當(dāng)停電發(fā)生時(shí)，你房間里的溫度為 20 ℃ ，在下午 10 點(diǎn)時(shí)，房間溫度變?yōu)? 15 ℃ ，你此時(shí)還注意到當(dāng)時(shí)室外溫度是 – 12 ℃. (1) 假設(shè)你房間里的溫度 T 的減少速度與當(dāng)時(shí)的溫差成正比，試寫出 T 所應(yīng)滿足的微分方程 . (2) 解上述微分方程以估算出第二天早晨 7 點(diǎn)起床時(shí)的房間里的溫度 . 你擔(dān)心水管會(huì)凍冰 嗎？ 45. 用超松弛迭代法求解線性方程組 取初始向量 X(0)＝ (1,1,1,1)T，松弛因子 ?＝ , 求三次迭代值。 已知求導(dǎo)公式為 (k＝ 1， 2， ? ， n－ 1) 36. 設(shè) （ 1）試求 在 上的三次 Hermite 插值多項(xiàng)式 H（ x）使?jié)M足 H（ x）以升冪形式給出。 x 0 f (x) 1 (2) 已知函數(shù) y＝ f(x) 的下列值： x y＝ f(x) 取步長(zhǎng) h＝ ，計(jì)算 的近似值。 33. 已知函數(shù) e－ x的下列數(shù)據(jù) ，用分段線性插值法求 x= x e－ x 837 708 805 818 34. 用迭代法求方程 x5－ 4x－ 2＝ 0的最小正根 .計(jì)算過(guò)程保留 4位小數(shù) . 35． (1) 用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分 之值，計(jì)算過(guò)程保留 4位小數(shù)。 32. 寫出用四階龍格－庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題??? ??? ????? )(y yy的計(jì)算公式，取步長(zhǎng) h=y()的近似值。計(jì)算過(guò)程保留 6位小數(shù)。計(jì)算中保留 5位小數(shù)點(diǎn)。 28. 試建立計(jì)算 ?a 的牛頓迭代格式，并求 ? ??????. 的近似值，要求迭代誤差不超過(guò) 10－ 6。 k xk yk ?kx xkyk 1 1 4 2 2 3 3 6 4 4 8 5 5 ? 15 31 24. 試確定求積公式 )()(d)(??????????? ffxxf的代數(shù)精度。計(jì)算它的各階均差。 ?????????? ???301021112A 9. 用列主元消去法解線性方程組 ????????????????615318153312321321321xxxxxxxxx 計(jì)算過(guò)程保留 4 位小數(shù) . 10. 取 m=4,即 n=8，用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算積分 ? ?0 2 d)1ln( xx 計(jì)算過(guò)程保留 4 位小數(shù) . 11. 用牛頓法解方程 x－ e－ x=0 在 x= . 要求 nn xx ??1 . 計(jì)算過(guò)程保留 5 位小數(shù) . 12. 取 h=, 用改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)－校 正公式求初值問(wèn)題 ??? ? ???? 1)0( 1 2y yxy 在 x=, 處的近似值 . 計(jì)算過(guò)程保留 3 位小數(shù) . kx 2 3 4 5 ky 4 6 8 9 試用直線擬合這組數(shù)據(jù) . (計(jì)算過(guò)程保留 3位小數(shù) ) 14. 將區(qū)間 [1,9]8等分，試用復(fù)化梯形公式求積分 xx d5691? ? 的近似值，計(jì)算 過(guò)程中保留 3位小數(shù) . 15. 用弦截法求方程 x－