20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽(參考版)
2024-08-25 08:41本頁面
【正文】 t a nt a n 2 ???????? eR M MF M MQ F xk PQ. …………… 18 分 當(dāng) 33e? 時 , 過點 F 作斜率為 2131e ? 的焦點弦 PQ , 它的中垂線交左準(zhǔn)線于 R , 由上述運(yùn)算知 , 3| | | |2RM PQ? ． 故 PQR? 為正三角形 . ………… 21 分 若 | | | |PF QF? ，則由對稱性得 2131PQk e?? ?． ……………… 24 分 又 1e? , 所以，橢圓 22 1 ( 0)xy abab? ? ? ? 的離心率 e 的取值范圍是 3( ,1)3e? ， 直線 PQ 的斜率為 2131e? ? ． 16. (1) 若 (nn? N*) 個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2020, 求 n 的 最小值 , 并 說明理由 ； (2) 若 (nn? N*) 個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 20202020 , 求 n 的 最小值 , 并 說明理由 . 解： (1) 因為 3 3 3 31 0 1 0 0 0 , 1 1 1 3 3 1 , 1 2 1 7 2 8 , 1 3 2 1 9 7? ? ? ?, 3312 2020 13??， 故 1n? . 因為 3 3 3 32 0 0 5 1 7 2 8 1 2 5 1 2 5 2 7 1 2 5 5 3? ? ? ? ? ? ? ?，所以存在 4n? ， 使 min 4n ? ． ……………… 6 分 8 若 2n? ，因 3310 10 2020?? , 則最大的正方體邊長只能為 11 或 12，計算 332 0 0 5 1 1 6 7 4 , 2 0 0 5 1 2 2 7 7? ? ? ?，而 674 與 277 均不是完全立方數(shù) , 所以 2n? 不可能是 n 的最小值 . ……………… 9 分 若 3n? ，設(shè)此三個正方體中最大一個的棱長為 x , 由 32 8320203 ???x , 知 最大的正方體棱長只能為 9 、 11 或 12. 由于 3932020 ?? , 547922020 3 ??? , 08292020 33 ???? , 所以 9x? . 由于 510220 05 3 ??? , 332 0 0 5 1 0 9 2 7 6? ? ?, 332 0 0 5 1 0 8 4 9 3? ? ?, 0721020 05 33 ???? , 所以 10x? . 由于 332 0 0 5 1 1 8 1 6 2? ? ?, 332 0 0 5 1 1 7 3 3 1? ? ?, 062112020 33 ???? , 所以 11x? . 由于 332020 12 6 61? ? ?, 3 3 32 0 0 5 1 2 5 1 5 2 5? ? ? ?, 所以 12x? . 因此 3n? 不可能是 n 的最小值 . 綜上所述， 4n? 才是 n 的最小值 . ……………… 12 分 (2) 設(shè) n 個正方體的棱長分別是 12, , , nx x x ， 則 3 3 3 2 0 0 512 2020nx x x? ? ? ?． …………… ⑤ 由 2020 4(mod 9)? ， 34 1(mod9)? ，得 2 0 0 5 2 0 0 5 6 6 8 3 1 3 6 6 820 02 4 4 ( 4 ) 4 4( m od 9)??? ? ? ? ?． …… ⑥ …… 15 分 又當(dāng) x? N* 時， 3 0, 1 (mod 9)x ?? ，所以 31x ≡∕
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