【正文】 6 參考文獻(xiàn) : [1] 程佩青 .數(shù)字信號(hào)處理教程 [M].3 版 .北京 :清華大學(xué)出版社 ,2021:333 368. [2] 丁玉美 ,高西全 .數(shù)字信號(hào)處理 [M].2 版 .西安 :西安電子科技大學(xué)出版社 ,2021: 19515. [3] 陳明軍 ,毛樟梅 .改進(jìn)窗函數(shù)在 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 [J].繼電 器 ,2021,35(17):6567 [4] 田廣新 ,高立志 ,孫春來 ,等 .基于窗函數(shù)法的非選頻型 FIR 數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì) [J].數(shù)據(jù)采集與處理 ,2021,23(2):228232. [5] , H. S. Jamadani, Ashok Rao. Novel Window Functions For Dig ital Filter s: IEEE Trans 2021[ C] . [ s . l] : Fifth International Conference o n Information Technology , 2021: 11841185. [6] 黃曉紅 ,蘇飛 ,王兆華 .基于單窗全相位數(shù)字濾波器和 LMS 準(zhǔn)則的窗函數(shù)設(shè)計(jì) [J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào) ,2021,20(6):13121315. [7] Saramaki, T. Adjustable window s for the design of FIR filters ， a tutorial: Electro technical Conference,1991 [C][s l] : Proceeding s,6th Mediterranean,1991:2833. [8] Nihal L. Hettiarachchi , Adel A. Sakla. Design of digital FIR filter s via optimized generalized Reimann window function: Circuits and Systems, 1995[C].[s l ]:Proceeding s of the 37th Midwest Symposium,1995, 2:10611064. [9] Kemal Avci, Arf Nacaroglu. A New Window Based on Exponential Function[J] .IEEE Trans on signal processing , 2021, 41(12):6072. [10] L. F. Lind, B. , W. P. Somerset. Linear Programming Design of FIR raised co sine filter with 100 % Excess bandwidth[ J] . Electronics letter s 29th February ,1995 ,32(5):436437. [11] Lawrence R. Rabiner . Linear Pro gram Design of Finite Impulse Response Digital Filters [J].IEEE Transactions on audio and electracoustics, 1972, 20 (4):280288. [12] 薛毅 .最優(yōu)化原理與方法 [M].北京 :北京工業(yè)大學(xué)出版社 ,2021: 3692. 。 5 結(jié)論 FIR 數(shù)字濾波器常用加窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 , 文章采用改進(jìn)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 , 并用線性規(guī)劃法設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器 , 其算法思路明確 , 設(shè)計(jì)的效果較好。不同處在于過渡帶 , 改進(jìn)窗函數(shù)的過渡帶為 ? ? , 嚴(yán)格與設(shè)計(jì)要求一致 , 而 Hamming 窗和 Blackman 窗的過渡帶為 ? ? , 改進(jìn)的窗函數(shù)算法略輸于傳統(tǒng)的窗函數(shù)。 圖 1 Hamming 窗和 Blackman 窗設(shè) 計(jì)的幅度特性 圖 2 改進(jìn)窗的幅度特性圖 從圖 1 和圖 2 的濾波器的頻率特性來看 , 改進(jìn)窗的函數(shù)通帶都是平坦 , 阻帶都有波紋 。用 Hamming 窗和 Blackman 窗設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器的幅度特性如圖 1。 4 應(yīng)用實(shí)例 設(shè)計(jì)一低通數(shù)字濾波器 , 其技術(shù)指標(biāo)如下 : 通帶截止頻率 ?? ?p , 阻帶截止頻率 ?? ?s ,通帶波紋 ?pR ,阻帶波紋?Rs 。 Ⅳ .解線性方程組 ,求出 a, b, c 的最優(yōu)解 , 從而確定數(shù)字濾波器 h(n)。 Ⅱ .由公式 (8) (9) (10)分別求出 A )(? 、 B )(? 、 )(?C 。算出 a, b, c, 便可以確定窗函數(shù)。公式 (11) (13) 和公式 (12) (14) 分別添加松弛變量、 懲罰變量變換成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃方程組 [12] : pdcCbBaA ???? ????? 1)()()( （ 15） pecCbBaA ???? ????? 1)()()( （ 16） s fcCbBaA ???? ???? )()()( （ 17） sgcCbBaA ???? ????? )()()( （ 18） 其中 d, e, f , g 全大于 0。該問題可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題 [1012], 公式 (11) (12) (13) (14) 可以作為約束條件。則 )( ?jeH 的幅度寫成下式 : ?? ?????? ??? ??? 2 1c os)()( 10 NnnhH Nn 將上式繼續(xù)化簡(jiǎn)得 [ 12] )(c o s)()( 210?? nnaHNn???? 式中 )2 1()0( ?? Nha 2 1...3,2,1),2 1(2)( ????? NnnNhna (6) 則式 ( 6) 可以寫成 cCbBaAH )()()()( ???? ??? (7) 式中 ?? nnNhNhANn ddc o s2 122 1)( 211 ?????? ????????? ?? ??? (8) ??? nN nnNhNhBNn ddc o s12c o s2 122 1)( 211 ???????? ????????? ??? ??? (9) ??? nN nnNhNhCNn ddc o s14c o s2 122 1)( 211 ???????? ????????? ?? ??? (10) 如果濾波器的幅度條件為 :通帶內(nèi)滿足 nH ?? ??1)( , 阻 帶內(nèi)滿足 nH ?? ?)( , 通帶內(nèi)可以列出如下方程 : pcCbBaA ???? ???? 1)()()( (11) pcCbBaA ???? ???? 1)()()( (12) 阻帶內(nèi)可列出方程 : scCbBaA ???? ??? )()()( (13) scCbBaA ???? ???? )()()( (14) p? 為通帶波紋 , s? 為阻帶波紋。由上述可知 ,改進(jìn)后的窗函數(shù)具備上述四種窗函數(shù)的性質(zhì) ,屬于上述窗函數(shù)的一般形式。情況 3, 取 a=, b= , c = 0, 為 Hamming 窗。情況 1,取 a= 1, b= c= 0, 為矩形窗。為方便起見 ,該窗函數(shù)長(zhǎng)度 選擇為奇數(shù)。 2 改進(jìn)的窗函數(shù) 文獻(xiàn) [12] 列舉的窗函數(shù)中 , Hanning 窗、 Hamming 窗、 Blackman 窗是余弦序列與矩形序列的線性組合。事實(shí)證明前面兩條標(biāo)準(zhǔn)不可能同時(shí)滿足 ,因此窗函數(shù)應(yīng)該是這兩條的折中 [13]。旁瓣的幅度下降速度快 ,最大旁瓣相對(duì)于主瓣應(yīng)該盡量小。對(duì) )(nhd 截?cái)嗪?,會(huì)產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象 ,所有的窗函數(shù)選擇都以減少這種現(xiàn)象為目的。窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器的思路是 [12]:先確定理想濾波 器的頻率響應(yīng) )( ?jd eH , 實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)??? ?? 10 )()( Nn jj enheH ?? 來逼近 )( ?jd eH 。減少窗函數(shù)頻譜的旁瓣高度 ,增大阻帶衰減 , 減小通帶和阻帶的波紋。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是邏輯性強(qiáng)、 目標(biāo)明確、 易于實(shí)現(xiàn) , 并能探索最佳方案。文獻(xiàn) [11]則采用線性規(guī)劃法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。文獻(xiàn) [9] 提出一種指數(shù)型窗函數(shù) ,該窗函數(shù)具有寬度可調(diào)特性 , 用該窗設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器有主瓣能量更集中 , 旁瓣更少的特點(diǎn)。 文獻(xiàn) [7] 將 Saramaki window 窗并且與DolphChebysheve window 結(jié)合設(shè)計(jì)出的 FIR 數(shù)字濾波器 , 其效果勝過 Kaiser window 。文獻(xiàn) [5] 用整數(shù)序列 ,如 Fibonacci序列、 Golomb 序列、 Hofstadter Conway 序列、 Recursive Triangular 序列產(chǎn)生窗函數(shù) , 來設(shè)計(jì)濾波器 , 其效果優(yōu)于經(jīng)典的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn) [3] 選擇 G