【正文】 ∴FG∥BD∴∠1=∠ABD∵BD平分∠ABC∴∠2=∠ABD∴∠1=∠2。（垂線的性質(zhì)）∴∠BED=∠BFC（等量代換）∴ED∥FC（同位角相等，兩直線平行）∴∠1=∠BCF（兩直線平行，同位角相等）∵∠2=∠1（已知）∴∠2=∠BCF（等量代換）∴FG∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．如圖，已知BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G在AC上，連接FG、FC，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，如果∠GFH與∠BHC互補(bǔ)．求證：∠1=∠2．【答案】證明見解析【解析】∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180176。 （____）∴∠BED＝∠BFC （_____）∴ED∥FC （_____）∴∠1＝∠BCF （_______）∵∠1＝∠2 （______）∴∠2＝∠BCF （______）∴FG∥BC （______）【答案】答案見解析【解析】【分析】由CF⊥AB、DE⊥AB知∠BED=∠BFC，利用平行線的判定知ED∥FC，由性質(zhì)得∠1=∠BCF，又因?yàn)椤?=∠1，所以∠2=∠BCF，故可由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判定FG∥BC．【詳解】∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）∴∠BED=90176?！唷螩HF=∠F，∴CH=CF．∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)．證明EF=2BC是解題的關(guān)鍵．如圖，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求證：FG∥BC．證明：∵CF⊥AB，DE⊥AB （_____）∴∠BED＝90176。－30176。AC=BC．∵∠F=30176。=30176?！唷螩AF=60176。則CF=AC，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的證明方法，得到CH=CF．根據(jù)（1）中的結(jié)論，知BE+CF=AC，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60176。角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)A恰好落在三角尺的斜邊DF上．(1)利用圖①證明：EF＝2BC．(2)在三角尺的平移過程中，在圖②中線段AH＝BE是否始終成立(假定AB，AC與三角尺的斜邊的交點(diǎn)分別為G，H)？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠ACB=60176。時(shí)，求∠APC度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）80176。．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)（2）∠CPD=∠α+∠β，理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，過P作PE∥AD交直線CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β∠α；當(dāng)P在AB延長線時(shí)，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．（1）如圖1，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60176?！螩PE=60176?！螾CD=120176。．∠C+∠CPE=180176。∴∠APC=∠APE+∠CPE=110176。∴∠APE=50176。．（ ）∵∠PAB=130176。求∠APC的度數(shù)．（1）數(shù)學(xué)活動小組經(jīng)過討論形成下列推理，請你補(bǔ)全推理依據(jù)．如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵PE∥AB(作圖知)又∵AB∥CD，∴PE∥CD．（ ）∴∠A+∠APE=180176。；（2）詳見解析；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得進(jìn)而得到（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出進(jìn)而得到【詳解】(1)如圖1,過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴ (2) 理由：如圖2,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴ (3) 理由：如圖3,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：，靈活運(yùn)用平行線性質(zhì)是關(guān)鍵.問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130176?！螪CP=20176?！唷螦PC=∠APE+∠CPE=110176。∴∠APE=50176。．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠PAB=130176。．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．問題解決：（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系 ．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ) （2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPD=∠β∠α或∠CPD=∠α∠β.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線