20xx屆二輪復(fù)習(xí)----提升篇專題五解析幾何-直線與圓-學(xué)案(全國通用)(參考版)
2025-04-03 01:16本頁面
【正文】 .，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3，2)，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1，又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，所以＝1，解得k＝0或k＝－，所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3，即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y＝2x－4上，所以設(shè)圓心C為(a，2a－4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|＝2|MO|，則有＝2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以2－1≤≤2＋1，解得0≤a≤，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為.當(dāng)a＝時，A(1，)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，易知所求的切線方程為x＋y－4＝0；當(dāng)a＝－時，A(1，－)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，易知所求的切線方程為x－y－4＝0.綜上所述，當(dāng)a＝時，切線方程為x＋y－4＝0；當(dāng)a＝－時，切線方程為x－y－4＝0.(2)設(shè)直線方程為x＋y＝b，由于直線過點(diǎn)A，則1＋a＝b，即a＝b－1，又圓心(0，0)到直線x＋y＝b的距離d＝.所以＋＝4，則b＝177。廣東六校第一次聯(lián)考)已知點(diǎn)P(－1，2)及圓(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|的值為________.解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P′(－1，－2)，如圖，連接PP′，P′Q，由對稱性可知，P′Q與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圓(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為A(3，4)，半徑r＝2，連接AP′，AT，則|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4.答案：4三、解答題(x－1)2＋y2＝25，直線ax－y＋5＝0與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P(－2，4)，求實(shí)數(shù)a的值.解：(1)把直線ax－y＋5＝0代入圓的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點(diǎn)，故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)0，即12a2－5a0，解得a或a0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪.(2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為－，所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1，0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝，由于∈，所以a＝.，直線x－y＋1＝0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為.(1)求圓O的方程；(2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，E，當(dāng)線段DE的長度最小時，求直線l的方程.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線x－y＋1＝0的距離為，所以圓O的半徑為＝，故圓O的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a0，b0)，即bx＋ay－ab＝0，由直線l與圓O相切，得＝，即＋＝，則|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.(2，0)，直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦長為4，且P為圓C上任意一點(diǎn).(1)
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