【正文】 =∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點A和點C是拋物線上的對稱點，∴AM=MC=1，∴點Q的坐標為（﹣2，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，∴點C坐標為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點Q坐標為（0，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．15．一次函數(shù)y＝x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．（1）求點C的坐標；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為D．①若點D與點C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．【答案】（1）點C（2，）；（2）①y＝x2－x； ②y＝－x2＋2x＋．【解析】試題分析：（1）求得二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c對稱軸為直線x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得點C的坐標；（2）①根據(jù)點D與點C關(guān)于x軸對稱即可得點D的坐標，并且求得CD的長，設(shè)A（m，m） ，根據(jù)S△ACD＝3即可求得m的值，即求得點A的坐標，＝ax2－4ax＋c得方程組，解得a、c的值即可得二次函數(shù)的表達式.②設(shè)A（m，m）（m2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，根據(jù)勾股定理用m表示出AC的長，根據(jù)△ACD的面積等于10可求得m的值，即可得A點的坐標，分兩種情況：第一種情況，若a＞0，則點D在點C下方，求點D的坐標；第二種情況，若a＜0，則點D在點C上方，求點D的坐標，分別把A、D的坐標代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函數(shù)表達式.試題解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x＝2．當(dāng)x＝2時，y＝x＝，∴C（2，）．（2）①∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴D（2，－），∴CD＝3.設(shè)A（m，m） （m2），由S△ACD＝3，得3（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.∴y＝x2－x.②設(shè)A（m，m）（m2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，AC＝＝（2－m），∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.由S△ACD＝10得（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．∴A（－2，－），CD＝5.若a＞0，則點D在點C下方，∴D（2，－），由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.若a＜0，則點D在點C上方，∴D（2，），由A（－2，－）、D（2，）得解得∴y＝－x2＋2x＋.考點：二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題.?！郟D=PQ=2=4，設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），當(dāng)P點在直線BC上方時，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，當(dāng)P點在直線BC下方時，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，綜上所述，P點的橫坐標為4或或；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB為等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點坐標為（，﹣，設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣解方程組得，則M1（，﹣）；作直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x﹣5），∵3=∴x=，∴M2（，﹣）.綜上所述，點M的坐標為（，﹣）或（，﹣）．點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．14．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點坐標和B的坐標，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點Q的坐標，設(shè)拋物線的解析式為，把點A坐標代入求出a的值即可；②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點Q坐標，設(shè)拋物線的解析式為，把點C坐標代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當(dāng)x=﹣1時，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當(dāng)y=0時，解得：x=177。得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，m2+6m5），則D（m，m5），討論：當(dāng)P點在直線BC上方時，PD=m2+6m5（m5）=4；當(dāng)P點在直線BC下方時，PD=m5（m2+6m5），然后分別解方程即可得到P點的橫坐標；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，2），AC的解析式為y=5x5，E點坐標為（，），利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EM1的解析式為y=x+b，把E（，）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=x，則解方程組得M1點的坐標；作直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x5），根據(jù)中點坐標公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標．詳解：（1）當(dāng)x=0時，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），當(dāng)y=0時，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45176。過點 ∴∴易得 所以P(4,5),由題意及易得：∴BQ=AP=設(shè)Q(m，1)()∴∴Q.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合性問題，涉及到一次函數(shù)、三角形外接圓圓心、全等三角形等知識點，第一問關(guān)鍵在于用a表示出A、B、C三點坐標；第二問關(guān)鍵在于找到AC垂直平分線的解析式，與AB垂直平分線解析式；第三問關(guān)鍵在于能夠求出PB的解析式13．如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x﹣5經(jīng)過點B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）過點A的直線交直線BC于點M．①當(dāng)AM⊥BC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標．