函數(shù)的單調(diào)性證明-wenkub.com
2024-11-04 01:37 本頁面
【正文】 2248。＞230。）的單調(diào)性，并求最小值 x1例5：求函數(shù)f(x)= x+2的單調(diào)區(qū)間 x1+165。一、證明方法步驟為：① 在給定區(qū)間上任取兩個(gè)自變量xx2且x1＜x2 ② 將f(x1)與f(x2)作差或作商（分母不為零）③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結(jié)論，確定函數(shù)的單調(diào)性。)與(165。教師應(yīng)適時(shí)指出這種驗(yàn)證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)！因此，在教學(xué)中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？這個(gè)問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個(gè)良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。這個(gè)觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會大大提高，主動(dòng)性也會更強(qiáng)?；谏鲜稣J(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個(gè)子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。關(guān)鍵點(diǎn)1。第一篇：函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的單調(diào)性證明一．解答題（共40小題）1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增．3．證明f（x）=在定義域?yàn)閇0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．第1頁（共23頁）5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)．6．證明：函數(shù)f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調(diào)性．7．證明：函數(shù)y=在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．9．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)．第2頁（共23頁）10．已知函數(shù)f（x）=x+．（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）若＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．11．證明：函數(shù)f（x）=在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞]上是增函數(shù)．13．判斷并證明f（x）=在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性．14．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性．第3頁（共23頁）15．求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間．16．求證：函數(shù)f（x）=﹣﹣1在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．17．求函數(shù)的定義域．18．求函數(shù)的定義域．19．根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．第4頁（共23頁）21．求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）22．已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．第5頁（共23頁）23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．24．已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數(shù)f（x）．25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式．27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．28．已知函數(shù)f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．第6頁（共23頁）29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）31．求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．32．已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．34．已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數(shù)f（x）的解析式．第7頁（共23頁）35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．36．已知函數(shù)f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數(shù)f（x）的解析式．37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．39．若函數(shù)f（）=+1，求函數(shù)f（x）的解析式．40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．第8頁（共23頁）第9頁（共23頁）函數(shù)的單調(diào)性證明參考答案與試題解析一．解答題（共40小題）1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)． 【解答】證明：設(shè)x1＜x2＜0，則：；∵x1＜x2＜0；∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設(shè)0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，）上遞減，設(shè)≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數(shù)f（x）在[，+∞）上遞增．3．證明f（x）=在定義域?yàn)閇0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．【解答】證明：設(shè)x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)．4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣（=；；因?yàn)?＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數(shù)．5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)． 【解答】解：設(shè)x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11頁（共23
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