【正文】 248。247。247。12345246。248。248。231。231。231。12345246。(3)將（2）中的置換表示成對(duì)換之積，并說(shuō)明哪些為奇置換，哪些為偶置換。248。231。231。12345246。，說(shuō)明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結(jié)論。j2是G1到G3的函數(shù)。N(a),則ax=xa,ay=yaa(xy)=(ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a,所以xy206。是子群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構(gòu)成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 證明N（a）構(gòu)成G的子群。a2，且a2a=aa2。e時(shí)，a至少是3階元,因?yàn)槿篏時(shí)有限階的，所以a是有限階的，設(shè)a是k階的,則a1也是k階的，所以高于3階的元成對(duì)出現(xiàn)的，G不含2階元，G含唯一的1階元e,這與群G是偶數(shù)階的矛盾。G也是冪等元，則e0=e0，即e0=e0e，由消去律知e0=e，a,b,c∈G,證明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 證明：先證設(shè)(abc)k=e219。(4)每個(gè)矩陣的逆元都是自己。01247。(2)矩陣乘法滿足結(jié)合律230。232。247。247。252。230。232。231。231。Z,o是Z上的代數(shù)運(yùn)算。3(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x(yz)=(xyz)mod 4 y)z = x1)=(1(yz)，結(jié)合律成立。見(jiàn)上(aob)ob=aob=a16．設(shè)V=〈 N，+，〉，其中+，分別代表普通加法與乘法，對(duì)下面給定的每個(gè)集合確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么？（1）S1=（2）S2= 是不是 加法不封閉（3）S3 = {1，0，1} 不是，加法不封閉第十一章部分課后習(xí)題參考答案={0，1，2，3}，為模4乘法，即y=(xy)mod 4 “x,y∈S, x問(wèn)〈S，〉是否構(gòu)成群？為什么？y=(xy)mod 4206。S，設(shè)是它的逆元*= *= == a=1/x,b=y/x 所以當(dāng)x185。 a，b * 可結(jié)合：(*)*=*= *(*)=*=(*)*=*(*)不是冪等的（2）*運(yùn)算是否有單位元，零元？ 如果有請(qǐng)指出，并求S中所有可逆元素的逆元。Z+，X * Y = min(x，y),即x和y之中較小的數(shù).(1)求4 * 6，7 * 3。封閉均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律（9）S = {0,1},S是關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。不封閉（5）正實(shí)數(shù)集合和運(yùn)算，其中運(yùn)算定義為：不封閉因?yàn)?1o1=1180。不封閉（R）和矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中n2。對(duì)(2)f是從X到Y(jié)的函數(shù),但不是滿射,也不是單射的。是滿射，不是單射238。不是滿射，不是單射238。N, f(x)=x2+2不是滿射，不是單射(2)f:N174。f(x)=237。IA ,并找出A的極大元`極小元`最大元和最小元.(1)A={a,b,c,d,e} Rp={,}200。 A180。uv=xy 206。u + y = x + v.(1)證明R 是A180。}解: R1oR2={,} R2oR1={} R12=R1oR1={,} R22=R2oR2={,} R23=R2oR22={,}36．設(shè)A={1，2，3，4}，在A180。B={} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A199。B, domA, domB, dom(A200。C 由（1）得證。C)=AB200。=198。}={1，2，3,198。求不會(huì)打球的人數(shù)。IB=198。｝ }（4）｛198。,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ 198。｛198。｛a,b,c,｛a,b｝｝真（7）｛a,b｝205。206。假（3）198。198。所以小王是文科學(xué)生。(┓(r∧s)174。s，p∨q ├ r∨s p∨q，p174。(q174。R)、(┓Q174。不存在最大的整數(shù)。數(shù)理邏輯，則要進(jìn)行英語(yǔ)或數(shù)理邏輯考試。，G有m條邊，n個(gè)頂點(diǎn)，證明：m163。：每個(gè)簡(jiǎn)單平面圖都包含一個(gè)次至多為5的頂點(diǎn)。S204。：無(wú)向圖中奇度點(diǎn)（度數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn)）有偶數(shù)個(gè)。并由此證明K5不是平面圖。：如果G是歐拉圖，則其邊圖L(G)也是歐拉圖。？完全圖、完全二部圖的邊數(shù)。G(ax=xa)},則S是G的子群。={1,3,4,5,9},*是模11的乘法(即x*y=xy mod 11)，請(qǐng)問(wèn)(G,*)是否構(gòu)成群？，e是單位元，a206。，K都是群G的子群，請(qǐng)問(wèn)H∩K,H∪K,HK是否一定是G的子群？ ，K是G的兩個(gè)子群，a206。證明：是一個(gè)群。：階為素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群。問(wèn)：哪些滿足交換律、結(jié)合律、有單位元、有零元？說(shuō)明理由。，在R上定義運(yùn)算*為x*y=x+y+xy,問(wèn)：是代數(shù)系統(tǒng)嗎？有單位元嗎？每個(gè)元素都有逆元嗎？ ***，是代數(shù)系統(tǒng)，對(duì)于R中元素*x,y，令xoy=2x+2y2。P(B)P(C)，對(duì)X206。f:RR174。{1,2,3,4,6}上整除關(guān)系的哈斯圖，求{2,3,6}的4種元素。A且206。R是II上的二元關(guān)系，R={,|xv=yu},證明：R是等價(jià)關(guān)系。P(A∪B)：R[sym] iff R=R：r(R)=R∪IA,S(R)=R∪R,t(R)=R∪R∪...：s(R∪S)=s(R)∪s(S)，證明：如果R是對(duì)稱的，則r(R)也是對(duì)稱的。B∩C,AC205。198。C，則A205。={1,2,3,4,5}, R={(x,y)|x={a,b,c},R= IA ∪{(a,b),(b,a)}，求a和b關(guān)于R的等價(jià)類。￢s 前提引入 ⑦r ⑥化簡(jiǎn)律 ⑧r217。s 結(jié)論：216。q,216。(q174。r),s174。t）⑥化簡(jiǎn) ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q174。t ③④等價(jià)三段論 ⑥（q174。q 前提引入 ⑦￢p（3）⑤⑥拒取式證明（4）：①t217。r ①置換 ③q174。(q217。s,s171。(q217。1217。r))218。r))217。r)(216。216。(216。r))→(p218。r)219。0 ∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式為 0(3)主合取范式為：(p218。216。q)217。r219。 M1219。q)219。p))219。(216。p218。(216。p)(216。(p218。q218。m2218。q)218。216。(p217。216。q217。p217。q)218。q218。219。p)219。q∨p)(2)216。(p∧q)∧1 219。q∨216。q∨(216。q)∨(216。p∨r)219。(p∨q)∧216。1所以公式類型為永真式(3)Pqrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000000000000 000 10000 101000 1所以公式類型為可滿足式：(2)(p→q)∧(p→r)219。p∨(p∨q))∨(216。q→216。q216。p)（5）(p∧r)171。另外，只有6能被2整除，6才能被4整除。（0∧1）→(1∧0)219。（1∧1∧1）?(0∧0∧0)219。0∧1219。（1）p∨(q∧r)219。對(duì)任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH205。因?yàn)镠是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)＝a－－－－－1*c∈H，故∈R。－－若∈R，則a1*b∈H。(2)對(duì)任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數(shù)，得∈f，于是∈g*f＝fog。因?yàn)間：A→B是函數(shù)，則t1＝t2。對(duì)于y∈B，因f：B→C是函數(shù)，則存在z∈C使∈f。＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。＝m－1，r162。＋1＝r＋1。Gi的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。、m162。假設(shè)對(duì)邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。R，則對(duì)任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。$z(xRz∧zSy)222。五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的219。又顯然有Usi205。對(duì)任意的a∈U，則a∈Ai或a∈Ai，兩者必有一個(gè)成立，取Ai162。(Ai162。因?yàn)閨(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。A(a)T(11)(6)，I