利用導數(shù)證明不等式-wenkub.com
2024-10-27 18:46 本頁面
【正文】 1)，各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sngf()=1，【引申】已知函數(shù)f(x)=an2(x1)1n+11（1）求證：ln； an+1nan（2）設(shè)bn=1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T20081ln2008T2007。(x)是g(x)的導函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（Ⅲ）當0ba時，求證：f(a+b)f(2a)ba． 2a【變式4】求證：bablnbabaa(0ab)1+x)x163。0，證明：e1+xx2ln(1+x)(2)x0時，求證：x2二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例已知函數(shù)f(x)=lnxax2+(2a)x（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)a0，證明：當0x111時，f(+x)f(x)； aaa（3）若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f`(x0)0【變式1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：恒有11163。構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式f(a)f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。(x)f(x)練習179。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)由條件移項后xf162。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．直接作差構(gòu)造函數(shù)證明123【例2】已知函數(shù)f(x)=x2+：在區(qū)間(1,+165。利用題目所給函數(shù)證明【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。例1 已知x206?？傊?，利用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學門能認真對待，并通過適當?shù)木毩曊莆账?x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。(x)0，當xa時，F(xiàn)39。例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx,設(shè)0ab證明：0g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2 2證明：設(shè)g(x)=xlnx,g39。39。ln(1+x)] 即：f(x)=2[x1+xx1,ln(1+x)179。例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。(x)=11x可得：當x206。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。[0,+165。i、m、n為正整數(shù)，且1第三篇：談利用導數(shù)證明不等式.談利用導數(shù)證明不等式數(shù)學組鄒黎華在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學接軌的有力點。(x)=12x當x∈時,f39。/6sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0得xx179。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時
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