20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修5第二章數(shù)列章末測(cè)試題b-wenkub.com
2024-11-24 00:25 本頁(yè)面
【正文】 2 n＋ 10對(duì)任意正整數(shù) n恒成立． ∴ m2n＋ 1＝ 2n＋ 1－ n 湖南 )某企業(yè)在第 1年初購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值為 120萬(wàn)元的設(shè)備 M， M的價(jià) 值在使用過(guò)程中逐年減少，從第 2年到第 6年，每年初 M的價(jià)值比上年初減少 10萬(wàn)元；從第 7年開(kāi)始，每年初 M的價(jià)值為上年初的 75%. (1)求第 n年初 M的價(jià)值 an的表達(dá)式； (2)設(shè) An＝ a1＋ a2＋ ? ＋ ann .若 An大于 80 萬(wàn)元，則 M 繼續(xù)使用，否則須在第 n 年初對(duì) M更新．證明：須在第 9年初對(duì) M更新． 解析 (1)當(dāng) n≤6 時(shí)，數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 120，公差為－ 10 的等差數(shù)列，此時(shí) an＝ 120－ 10(n－ 1)＝ 130－ 10n； 當(dāng) n≥6 時(shí)，數(shù)列 {an}是以 a6為首項(xiàng)，公比為 34的等比數(shù)列，又 a6＝ 70，所以 an＝ 70( 34)n－ 6. 因此第 n年初， M的價(jià)值 an的表達(dá)式為 an＝????? 130－ 10n， n≤6 ，34n－ 6， n≥7. (2)證明 設(shè) Sn表示數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 ，由等差及等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng) 1≤ n≤6 時(shí)， Sn＝ 120n－ 5n(n－ 1)， An＝ 120－ 5(n－ 1)＝ 125－ 5n； 當(dāng) n≥7 時(shí)，由于 S6＝ 570，故 Sn＝ S6＋ (a7＋ a8＋ ? ＋ an) ＝ 570＋ 70 344[1 － (34)n－ 6] ＝ 780－ 210( 34)n－ 6. An＝780－ 34 n－ 6n . 易知 {An}是遞減數(shù)列． 又 A8＝780－ 34 28 ＝ 82476480， A9＝780－ 34 39 ＝ 76799680， 所以需在第 9年初對(duì) M更新． 22． (12 分 )已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列 {an}滿(mǎn)足 a2＋ a3＋ a4＝ 28，且 a3＋ 2 是 a2， a4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若 bn＝ anlog12an， Sn＝ b1＋ b2＋ ? ＋ bn，對(duì)任意正整數(shù) n， Sn＋ (n＋ m)an＋ 10 恒成立，試求 m的取值范圍． 解析 (1)設(shè)等比數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1，公比為 ，有 2(a3＋ 2)＝ a2＋ a4，代入a2＋ a3＋ a4＝ 28，得 a3＝ 8. 因此 a2＋ a4＝ 20，即有????? a1q ＋ a1q3＝ 20，a3＝ a1q2＝ 8. 解得????? q＝ 2，a1＝ 2 或 ????? q＝ 12，a1＝ 32. 又?jǐn)?shù)列 {an}單調(diào)遞增，則????? q＝ 2，a1＝ 2. 故 an＝ 2n. (2)∵ bn＝ 2n a1＋ 9d ， 解得????? a1＝ 10，d＝ 0 或 ????? a1＝ 7，d＝ 1. ∴ S20＝ 200或 S20＝ 330. 18． (12分 )(20213 n 解析 n≥2 時(shí)， Sn＝ 32an－ 3， ① Sn－ 1＝ 32an－ 1－ 3， ② ① － ② 知 an＝ 32an－ 32an－ 1，即 12an＝ 32an－ 1. ∴ anan－ 1＝ 3，由 Sn＝ 32an－ 3，得 S1＝ a1＝ 32a
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