人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第2課時(shí)瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)-wenkub.com
2024-11-14 01:21 本頁(yè)面
【正文】 x ＋ (Δ x )2. Δ yΔ x＝2Δ x x ＋ ? Δ x ?2Δ x＝ 2 x ＋ Δ x . ∴ f ′ ( x ) ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 ( 2 x ＋ Δ x ) ＝ 2 x . ∴ f ′ ( 1 ) ＝ 2. 即 f ( x ) ＝ x2在 x ＝ 1 處的導(dǎo)數(shù) f ′ ( 1 ) ＝ 2. [ 方法總結(jié) ] 求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的思路： ( 1 ) 直接利用導(dǎo)數(shù)定義，但要注意對(duì)式子Δ yΔ x的變形和約分，變形不徹底可能導(dǎo)致 l i mΔ x → 0 Δ yΔ x不存在，得出錯(cuò)誤結(jié)論． ( 2 ) 先求出導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值． 用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y ＝ f ( x ) ＝ 1 x 在 x ＝ 1 處的導(dǎo)數(shù)． [ 解析 ] 因?yàn)?Δ y ＝ f (1 ＋ Δ x ) － f ( 1 ) ＝11 ＋ Δ x－ 1 ＝1 － 1 ＋ Δ x1 ＋ Δ x＝1 － 1 － Δ x? 1 ＋ 1 ＋ Δ x ? 1 ＋ Δ x ＝－ Δ x? 1 ＋ 1 ＋ Δ x ? 1 ＋ Δ x， 所以Δ yΔ x＝－1? 1 ＋ 1 ＋ Δ x ? 1 ＋ Δ x . f ′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝－12. 導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，試求下列各式的值 . ( 1 ) l i mΔ x → 0 f ? x 0 － Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x； ( 2 ) l i mh → 0 f ? x 0 ＋ h ? － f ? x 0 － h ?2 h. [ 分析 ] 在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量 Δ x 的形式是多種多樣的，但不論 Δ x 選擇哪種形式， Δ y 也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式．利用函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的式子恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式． [ 解析 ] ( 1 ) 原式＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 － Δ x ? － f ? x 0 ?－ ? － Δ x ? ＝－ l i m－ Δ x → 0 f ? x 0 － Δ x ? － f ? x 0 ?－ Δ x(Δ x → 0 時(shí) ，－ Δ x → 0) ＝－ f′ ( x 0 ) ． ( 2 ) 原式＝ l i mh → 0 f ? x0＋ h ? － f ? x0? ＋ f ? x0? － f ? x0－ h ?2 h ＝12????????l i mh → 0 f ? x0＋ h ? － f ? x0?h＋ l i mh → 0 f ? x0－ h ? － f ? x0?－ h ＝12????????f ′ ? x0? ＋ l i m－ h → 0 f ? x0－ h ? － f ? x0?－ h ＝12[ f ′ ( x0) ＋ f′ ( x0)] ＝ f ′ ( x0) ． [ 方法總結(jié) ] 概念是分析解決問(wèn)題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題．不能準(zhǔn)確分析和把握所給極限式與導(dǎo)數(shù)的 關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是恒等變形，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化 . 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在 x0處
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