選修4-5-證明不等式的基本方法-綜合法與分析法-wenkub.com
2025-08-02 17:23 本頁面
【正文】 (t)0， f(t)在 (0,1)上遞減 . 當(dāng) t∈(1,+∞) 時 ,f180。(x)=0得 x=0,于是 當(dāng) x∈( 1， 0)時 ,f180。2022年 8月 28日星期日 不等式的證明 第二講 證明不等式的基本方法 綜合法與分析法 二、綜合法與分析法 例 a,b,c0,且不全相等，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc 分析：觀察待證不等式的特點與重要不等式： a2+b2≥2ab有關(guān) 所以證明可以從這個重要不等式出發(fā)， 再結(jié)合不等式的性質(zhì)推出 . 這就是 綜合法 2 2 2 20 , 2 , ( ) 2 ,a b c bc a b c abc? ? ? ? ? ?2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,b c a abc c a b abc? ? ? ?同 理三 式 相 加 , 即 得 要 證 的 不 等 式 ．, , ,abc ?不 全 相 等 以 上 三 式 中 至 少 有 一 個 不 取 等 號 ,綜合法： 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫 綜合法 . 綜合法又叫 順推 法或 由因?qū)Ч?法 綜合法的 “ 入手處 ” 是一些重要的不等式： 22( 3 ) , ,222a b Rab a b a babab????? ? ??若 則22(1 ) 2a b a b?? 3 3 3( 2) , , , 3a b c R a b c ab c?? ? ? ?則3( 4) , , ,3a b c Rabcabc?????若 則2 2 2( 5 ) a b c ab bc c a? ? ? ? ?例 a1,a2,...,an∈ R+,且 a1a2...an＝ 1，求證 (1+a1)(1+a2)… (1+an)≥2n 分析：觀察要證明的結(jié)論，可以聯(lián)想到是由n個同向不等式相乘得到 . 由基本不等式得： 112 i ia a? ?再由條件： a1a2...an＝ 1可得結(jié)論 例 a1,a2,...,an∈ R+,且 a1a2...an＝ 1，求證 (1+a1)(1+a2)… (1+an)≥2n 0 ( 1 , 2 , , ) ,ia i n??證 : 所 以 有111 2 ,aa??221 2 ,aa??1 2 ,nnaa??1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2nnnna a a a a a? ? ? ? ?各 式 相 乘 得11i i ia a a? ? ?當(dāng)
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