矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算-wenkub.com
2025-08-02 10:29 本頁(yè)面
【正文】 感謝天津科技大學(xué)在我四年的大學(xué)生活當(dāng)中對(duì)我的教育與培養(yǎng)，感謝天津科技大學(xué)理學(xué)院的所有老師，沒(méi)有你們的辛勤勞動(dòng)，就沒(méi)有我們今日的滿載而歸，感謝大學(xué)四年曾經(jīng)幫助過(guò)我的所有同學(xué)。感謝生我養(yǎng)我，含辛茹苦的父母。3參考文獻(xiàn)[1]F. AluffiPentini, V. Parisi, A novel algorithm for the numerical integration of systems of ordinary differential equations arising in chemical problems, [J]Math. Chem. 33 (2003) 1–15.[2] Lancas ter P, T ism enest aky M . Th e T heory of Mat rices w ith Applicat ions [M] . T he second Edit ion Academic Press , 1985.[3]Wermuth E M E．Two remark on matrix exponentinls[M]．Linenr algebra App1．1989，17： 127~132.[4]C. Moler and C. Van Loan, Nineteen dubious ways to pute the exponential of a matrix[M],SIAM Review, 20(1978), 801836.[5]史榮昌，[M]，北京理工大學(xué)出版社，2010.[6]王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程：第２版[M].北京：高等教育出版社，１９８３.[7] 變換在矩陣指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,26 (7):4345.[8]張偉紅，檀結(jié)慶，的Thiele 型矩陣有理逼近[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué) 版),2006, 29(10): 147149.[9]張俊祖, 姜根明, 馮復(fù)科. 矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計(jì)算[J].長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 26(1): 108110。之后，本文又提到了兩種特殊方法，矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡(jiǎn)單粗暴，如果A是正交矩陣，用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法可以簡(jiǎn)化計(jì)算，這種方法避免了對(duì)矩陣特征值的計(jì)算，遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)計(jì)算量也不會(huì)變高，缺點(diǎn)是只能用于正交矩陣。矩陣指數(shù)函數(shù)是一種特殊的矩陣函數(shù)，同時(shí)他也是解決線性微分方程組重要部分。Laplace反變換法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計(jì)算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace反變換的便捷，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)介明了，可以說(shuō)，在計(jì)算方法的選擇上，此方法可以作為首選，但這個(gè)方法法也有自己的缺點(diǎn)，即Laplace反變換本身計(jì)算并不簡(jiǎn)單。此方法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計(jì)算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace 反變換的便捷，但是本方法也有一定的缺陷，即Laplace反變換本身計(jì)算并不簡(jiǎn)單。定義在復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，一般叫它函數(shù)的Laplace變換，在這里在有意義，同時(shí)符合不等式（對(duì)于復(fù)值的，表示其模），這里， 為某兩個(gè)正常。使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法會(huì)避免矩陣特征值的計(jì)算, Laplace變換法則運(yùn)用了Laplace變換，也不用計(jì)算矩陣的特征值。第一種和第二種方法的計(jì)算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識(shí)，這兩種方法中都運(yùn)用了到一個(gè) 階的線性微分方程，通過(guò)對(duì)這個(gè)方程的求解來(lái)計(jì)算, 第三種方法從運(yùn)用了Jordon標(biāo)準(zhǔn)型的知識(shí)，主要依據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解。由定理 可知證畢．例1有矩陣指數(shù)函數(shù)，對(duì)其求解，在這里解：特征方程為： ，所以矩陣A的特征值為．所以的通解為：當(dāng)時(shí)。通常矩陣有重復(fù)的特征值，假設(shè)有個(gè)互不相同的特征值，每個(gè)特征值的重復(fù)次數(shù)是因此微分方程的通解是:.同樣，由初始條件可得一個(gè)關(guān)于未知量的階線性方程組，其系數(shù)矩陣是通過(guò)解此方程組可求得，即可求出．例1計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)，其中解：特征方程為： 所以矩陣的特征值為．所以因此，是的元素。當(dāng)時(shí)，矩陣指數(shù)函數(shù)的每個(gè)元素都滿足階線性微分方程，并且是階矩陣線性微分方程 () ()的唯一解。4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，即的計(jì)算有很多種計(jì)算方法。因此令 ，那么在上有定義，又設(shè) ，為整函數(shù)， ，又也是整函數(shù)，若， ，從而 .同時(shí)．如果將表示為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，即知，且．令，唯一，并有假使是正規(guī)矩陣，可以推導(dǎo)得 （）另一方面，若符合式（），那么是正規(guī)矩陣，即 設(shè)，是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為成立。 設(shè)，是復(fù)值函數(shù)，并且在有定義，那么矩陣指數(shù)函數(shù)，擁有下面7條性質(zhì)：（1）（2）（3）如果和可交換，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，有；（4）對(duì)于任何矩陣，總是可逆的，同時(shí)；（5）；（6），其中是的跡。在本章開始我們將簡(jiǎn)單的介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì)，再對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行描述與證明. 假設(shè)和是兩個(gè)互相不一樣的多項(xiàng)式，在這里是一個(gè)階矩陣，那么他的充要條件就是在的影譜上和的值對(duì)應(yīng)相等，即通過(guò)利用矩陣多項(xiàng)式，以下將寫出矩陣函數(shù)的定義． 設(shè)在階矩陣的影譜上函數(shù)有定義，即它的值是確定值．如果是一個(gè)多項(xiàng)式，同時(shí)符合那么矩陣函數(shù)可以定義作。證畢。 矩陣 （）是（）的基解矩陣。因?yàn)椋ǎ┦且恢率諗康模钥梢詫?duì)（）進(jìn)行求導(dǎo)。易知對(duì)于一切正整數(shù)，有，又因?yàn)槿我饩仃嚕且粋€(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以數(shù)值級(jí)數(shù)是收斂的（上式和為）。特別的，在這里，我們可以設(shè)定。首先，齊次線性微分方程組可以簡(jiǎn)單的表示為 （）這里是常數(shù)矩陣。酉矩陣 如果一個(gè)的復(fù)數(shù)矩陣，這個(gè)矩陣滿足條件：在這里，是的共軛轉(zhuǎn)置，是階單位矩陣，可以被稱作酉矩陣。推論 是階Hermitian矩陣，同時(shí)也是正定（半正定）矩陣的充分必要的條件是矩陣中所求得的所有的特征值都大于等于0。狹義定義：是階的實(shí)對(duì)稱矩陣，同時(shí)是正定的，在這里當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù)向量，都存在。正定矩陣的定義分為廣義的定義和狹義的定義。齊次微分方程組 在線性微分方程組 （）如果則稱（）為非齊次線性的，如果則為齊次線性的，此時(shí)方程形式為 通常上式稱為對(duì)應(yīng)于（）的齊次線性微分方程組。 矩陣級(jí)數(shù)：設(shè)是的矩陣序列，在這里，矩陣集的無(wú)窮和稱為矩陣的級(jí)數(shù)，可以記作。矩陣的化零多項(xiàng)式與它的最小多項(xiàng)式 , 如果多項(xiàng)式滿足，則稱是的化零多項(xiàng)式。最后本文將會(huì)介紹矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用。到了這個(gè)時(shí)候，矩陣體系業(yè)已很完善了。德國(guó)數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（Frobenius）最先提出了最小多項(xiàng)式的概念，矩陣中秩的概念介紹、不變的因素和主要因素、正交矩陣的相似變換，矩陣的其他
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