電動力學(xué)電動力學(xué)二六(電多極矩)-wenkub.com
2025-08-02 10:11 本頁面
【正文】 Q( 0,0,a ) 2( 2 ),2,1( ) ( 0)2!1( 0)6i i j eij ijVij eij ijW x x x dxxDxx? ? ?????????????一個電偶極子在外場中的受力為 )0(eEpF ??? ???同理，將偶極矩轉(zhuǎn)動一個 ，力矩 作的功為 故 L?? L ???( 1 )( 1 )( ( 0 ) c o s ) ( 0 ) siniieeWL W Lp E p E??? ??????? ? ? ? ? ???? ? ??( 0 )eL p E??電偶極子在外場中所受到的力和力矩 考慮力矩的方向得到 作業(yè)：補充題 在邊長為 a 的正方形的四個頂點分別放置電量為 Q 的點電荷 ， 相鄰頂點的電荷符號相反 ， 再在正方形的中心放置等量的 +Q 的點電荷 。 )(xe ??)(x??假設(shè)電荷系 分布的區(qū)域 V 是外場中一個小區(qū)域 ， 在其中外場的勢 變化不大 ， 取其中一點為坐標(biāo)原點 ，則可對 在原點附近作泰勒級數(shù)展開： )(xe ??)(xe ???2,1( ) (0 ) ( ) (0 ) (0 )2!e e e i j eij ijx x x xxx? ? ? ??? ? ? ? ? ????2,( 0 ) ( 1 ) ( 2 )1( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 )2!i e e i j eij ijVi i iW x x x x dxxW W W? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? ???( 0 ) (0 ) ( ( ) )ie VW Q Q x d? ? ??? ?( 1 ) ( 0 ) ( 0 )i e eW p p E?? ?? ? ? ?( ( ) )Vp x x d??? ?則得 )1(iWW ???若偶極矩平移 ， 則從能量守恒得 r??( 1 ) ( 1 )iiF r W F W??? ? ? ? ? ? ?( ( 0 ) ) ( 0 )eeF p E p E? ? ? ? ?? 表示把體系的電偶極矩集中到原點時，一個電矩在外場中的能量，作為一級近似的結(jié)果。 ( ) 。=1 所以，對于 r39。故有 b） 23( 2 ),101 1 146 ijij ijDx x R??? ???????1 1 1 2 1 3 2 2 2 32233036 ( )ij k k i k ikD D D D DD q x xD q b a? ? ? ? ??????? ??????)13(416141352022330)2(RRzplRzD??????????即 這里 c) 半軸為 a, b, c 橢球體內(nèi)均勻帶電 ， 總電量為 Q，求它相對于橢球中心的電偶極矩 、 電四極矩以及準(zhǔn)確到二級近似時在遠處的電勢 ， 并討論旋轉(zhuǎn)橢球 (a=b)和球體 (a=b=c)的情況 。 (2)?*ijDijD分析：體系可看成小區(qū)域 （ R l ）， 體系對原點而言是不對稱的，總電荷為零，故沒有零級近似。 x?（ 2） 對電四極矩 的進一步認識 ijD?? ????? ? dxxxD jViij )(3?? ?????VdxxxD ?? )(3 ???? 為張量表示 對不連續(xù)分布的點電荷而言，其總電量和偶極矩、電四極矩的表示式分布為 kkQq? ? kkkP q x ?? ? 3i j k k i k jkD q x x??? ?jiD,是電四極矩張量的 ij 分量，共有 9個分量，即 其中 i, j=1,2,3 也可以寫成 ▲ 下面主要證明電四極矩 的 9個分量，只有 5個分 量是獨立的： D?a） 因為 ， ， 。 綜上所述，展開式表明：一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠處激發(fā)的場等于一系列電多極矩在遠處激發(fā)的場的迭加。 把 場點固定不變 。實際上 ， 通過這個多極子的展開式 ， P點的電勢可寫為 表示在點 o處的電偶極矩 的電勢； kkkp q x?? ?表示在點 o處的電四極矩 的電勢。 多極矩法是討論 Rl情況下的場分布問題 。167。 x y z o Q a = x y z o Q + x y z o Q a Q 以一個最簡單的例子來說明：假設(shè) V 中有一個點電荷 Q ， 位于 （ a ,o ,o） 點上 ， 如果對遠處產(chǎn)生的電勢來說 ， 相當(dāng)于 x y z o Q 零級近似 ?如果作為一級近似，且 o = + x y z Q a x y z o Q x y z o Q a/2 Q o + x y z Q Q Q +Q 如果作二級近似，同理得到 x y z o Q + x y z o +Q Q 一級近似 ?x y z o Q a = x y z o Q + x y z o Q a/2 Q 二級近似 x y z o x y z o + Q Q a/2 ?Q x y z o Q Q Q x y z o Q Q Q a/4 Q Q Q Q + Q Q 總之 ， 移動一個點電荷到原點 ， 對場點產(chǎn)生一個偶極子分布的誤差；移動一個偶極子到原點 ， 對場點產(chǎn)生一個電四極子分布的誤差；移動一個電四極子到原點 ，對場點產(chǎn)生一個電八極子分布的誤差； …… 。 z x P y A qj qk ql o kx?x??kr 3i j k i k j kkD x x q??? ?22( 2 )023,01 3 1( c os )4 2 21 1 1( 3 c os 1 )46kkijijqRDR? ? ????????????001 ( c o s ) 4nkpnknq pR? ? ?????? ?? 。 而
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