【正文】 這樣得到的變換結(jié)果只有 1/4的像素包含均值，再對這 1/4的均值重復計算行和列的均值和差值，依此類推。這 N個矩陣分別是第一、第二和第 N次分解圖像時所構(gòu)成的矩陣 5. 二維哈爾小波變換 2022年 10月 9日 二維哈爾小波變換 (續(xù) 1) ? 用小波對圖像進行變換有兩種方法，一種叫做標準分解 (standard deposition)，另一種叫做非標準分解 (nonstandard deposition)。 ? 空間矢量 V j定義為 ? ?( ) 0 , , 2 1j j jiV s p x i?? ? ? ? ? ?其中，表示線性生成 (linear span) 2022年 10月 9日 (2) 哈爾小波函數(shù) ? 小波函數(shù)通常用 表示。哈爾基函數(shù)在 1909年提出，它是由一組分段常值函數(shù) (piecewiseconstant function)組成的函數(shù)集。例如，在分辨率為 1的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為 2的圖像，在分辨率為 2的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為 4的圖像 ? 通過變換之后產(chǎn)生的細節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，這就為圖像壓縮提供了一種途徑。為了能夠從由 2個像素組成的圖像重構(gòu)出由 4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節(jié)系數(shù)(detail coefficient)，以便在重構(gòu)時找回丟失的信息。 ? 哈爾小波函數(shù) 哈爾小波函數(shù)是生成矢量 的一組線性無關(guān)的函數(shù) ，用符號 W j表示。圖中的符號 表示降采樣。小波包分解方法是小波分解的一般化，可為信號分析提供更豐富和更詳細的信息。這種樹叫做小波分解樹 (wavelet deposition tree) ? 分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要 小波分解樹 2022年 10月 9日 (a)信號分解 (b)系數(shù)結(jié)構(gòu) (c)小波分解樹 小波分解樹 2022年 10月 9日 小波包分解樹 ? 小波分解樹表示只對信號的低頻分量進行連續(xù)分解。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。 ?圖 (a)是 20世紀 40年代使用 Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換 (short time Fourier transform， STFT)得到的時間 頻率關(guān)系圖 ?圖 (b)是 20世紀 80年代使用 Morlet開發(fā)的小波變換得到的時間 縮放因子 (反映頻率 )關(guān)系圖。不難想象，連續(xù)小波變換的計算量是驚人的。 2022年 10月 9日 ? 小波分解得到的圖像 2022年 10月 9日 (9)著名科學家 Inrid Daubechies， Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等著名科學家 ? 把這個小波理論引入到工程應用方面做出了極其重要的貢獻 ? Inrid Daubechies于 1988年最先揭示了小波變換和濾波器組 (filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實 ? 在信號處理中，自從 Inrid Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后，小波在信號 (如聲音信號，圖像信號等 )處理中得到極其廣泛的應用。按上述步驟一直進行下去，直到信號 結(jié)束 ? 步驟 4: 擴展小波 ，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為 ? 步驟 5: 重復步驟 1~4 2022年 10月 9日 (a) 二維圖 2022年 10月 9日 (b) 三維圖 連續(xù)小波變換分析圖 2022年 10月 9日 (6) 三種變換的比較 2022年 10月 9日 (7) 1984: subband coding (Burt and Adelson) ? SBC (subband coding)的基本概念： 把信號的頻率分成幾個子帶，然后對每個子帶分別進行編碼，并根據(jù)每個子帶的重要性分配不同的位數(shù)來表示數(shù)據(jù) ? 20世紀 70年代，子帶編碼開始用在語音編碼上 ? 20世紀 80年代中期開始在圖像編碼中使用 ? 1986年 Woods, J. 像濾波器組 (quadrature mirror filterbanks， QMF)把信號的頻帶分解成 4個相等的子帶 2022年 10月 9日 圖 (a) 正交鏡像濾波器 (QMF) 2022年 10月 9日 圖中的符號 表示頻帶降低 1/2， HH表示頻率最高的子帶， LL表示頻率最低的子帶。 ? 20世紀 80年代 ,從 STFT開發(fā)了 CWT： 2022年 10月 9日 ? Definition Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (., as a weighted sum) to construct any given signal. ? where: ? a = scale variable －縮放因子 ? k = time shift －時間平移 ? h* = wavelet function －小波函數(shù) ? 用 y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet function, ? 在 CWT中， scale和 position是連續(xù)變化的 2022年 10月 9日 縮放 (scaled)的概念 ? 例 1：正弦波的算法 2022年 10月 9日 縮放 (scaled)的概念 (續(xù) ) ? 例 2：小波的縮放 2022年 10月 9日 平移 (translation)的概念 2022年 10月 9日 (5) CWT的變換過程 可分成如下 5個步驟 ? 步驟 1: 把小波 和原始信號 的開始部分進行比較 ? 步驟 2: 計算系數(shù) c 。 2022年 10月 9日 傅立葉變換的定義： A mathematical description of the relationship between functions of time and corresponding functions of frequency。n39。它是繼