【正文】 T應(yīng)用積分定義，將區(qū)間［ a，b］ 進(jìn)行n 等分。設(shè)極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數(shù)列極限存在且其極限也是e。又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，∴ 當(dāng)n≤k 時(shí)， 不等式仍然成立。令，則由均值不等式得即 所以數(shù)列單調(diào)遞增。而極限概念是用不等式刻畫的。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 0，故a.評(píng)注 :本題以曲線的斜率為背景，以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為依托，通過方程思想建立數(shù)列的遞推關(guān)系，最終通過待定系數(shù)法求得等比數(shù)列的通項(xiàng)，為分類討論不等關(guān)系提供了依據(jù).例1 (第二屆友誼杯國際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知a，b，c 0, 證明證明:作3x2長方形表: 由(*)式，得≥，即兩邊 平 方 ，整理得例 2 ( 2001)年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明:對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b ,。第n行填寫、在每一行中計(jì)算幾何平均數(shù)并分別用 表示(表1). 則Γ()≥A() (*) (證明詳見文[1]).特別 ，當(dāng) 長方形表為nn 的正方形表時(shí)(如表2填寫法)，便得到。| n| ,得ax + by ≤6 ,當(dāng)且僅當(dāng)m與n 同向即時(shí)等號(hào)成立,故ax + by 的最大值為6.本題也可用柯西不等式求解.解法2 　由柯西不等式 ,得 ,即| ax + by| ≤6 ,故ax + by 的最大值為6. 　用函數(shù)的單調(diào)性例14 　求函數(shù)的最小值.分析　直接運(yùn)用均值不等式 時(shí), 等號(hào)成立的條件為, 即, 無解, 所以等號(hào)不可能成立. 故不能直接用均值不等式求最小值,需另辟蹊徑,可利用函數(shù)的單調(diào)性解決.解　設(shè),則 .易證函數(shù)在t ∈[ 2 , + ∞) 上是增函數(shù), ∴ t = 2 即x = 0 時(shí), 　運(yùn)用放縮例15 　求函數(shù) 在x ∈[ 1 , +∞) 上的最小值.分析　此題看似無法使用均值不等式, 但可運(yùn)用兩次放縮便可達(dá)到求解目的.解　.以上兩個(gè)“ ≥”號(hào)中“= ”成立的條件都是x = 1. ∴ y 的最小值為 2.3．均值不等式的推廣及應(yīng)用 引言均值不等式在不等式理論中處于核心地位,比較大小,也是解題的重要依據(jù)之一.定理A(均值不等式) 設(shè)為n 個(gè)正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有: 引理(Jensen 不等式）若函數(shù)f在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù),且有f(x)≥0,則有其中xi∈I,qi 0,i=1,2,…,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1 q1=x2 q2=…=xnqn時(shí)等號(hào)成立。這樣經(jīng)過多次反復(fù), 會(huì)收到良好的效果。例5 若正數(shù)x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。錯(cuò)解 因, 所以, 故的最大值是。評(píng)注這里中, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=y 時(shí)取“ =”號(hào)。評(píng)注在y≥2 中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即, 這是不可能的, 所以等號(hào)不成立,故y 的最小值不是2。錯(cuò)解因?yàn)樗栽u(píng)注雖然的積是常數(shù), 但x 1 不一定是正數(shù), 因此解法是錯(cuò)誤的。 (2)定?？梢姰?dāng)即時(shí)三棱錐體積V 取得最大值。錯(cuò)解: 如圖所示, 設(shè)AB 中點(diǎn)為D, 連結(jié)CD, 令A(yù)B=2x,則SC=X 顯然AC=BC ∴CD 是等腰三角形ABC 底邊上的高,即: 當(dāng) 即時(shí), 三棱錐體積V 取得最大值, V 最大這里得出的結(jié)果是對(duì)的, 但推理的依據(jù)卻是錯(cuò)的。例3: 的鋼條制作長方體容器框架, 米, 當(dāng)長方體的高為多少時(shí), 容器的容積最大? ( 2002 年數(shù)學(xué)高考題)錯(cuò)解: 設(shè)則 ∴ 是定值∴ 立方米事實(shí)上, x+= 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結(jié)果為錯(cuò)誤的。所以在運(yùn)用公式前, 應(yīng)先檢查公式的條件是不是已滿足, 若不滿足, 應(yīng)創(chuàng)造條件應(yīng)用公式或改用其它途徑去解決問題。 　4. 4/ 9 。C 。B 　 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = b 上。當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值.總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，靈活運(yùn)用均值不等式. 利用均值不等式求最值的技巧　　均值不等式 ( a 0 , b 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立) 是一個(gè)重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問題. 對(duì)于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技巧. 　配湊1) 湊系數(shù)例1 　當(dāng)0 x 4 時(shí),求 = x (8 2 x) .解析　由0 x 4 , 有8 2 x 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為2 個(gè)式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 2 x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可. ,當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 8 2 x 即x = 2 時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)x = 2時(shí), y = x (8 2 x) 的最大值為8.點(diǎn)評(píng)　本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 湊項(xiàng)例2 　已知 ,求函數(shù)的最大值.解析　由已知4 x 5 0 ,首先調(diào)整符號(hào),因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故需對(duì)4 x 2 進(jìn)行湊項(xiàng)得到定值. 因?yàn)?所以5 4 x 0 ,.當(dāng)且僅當(dāng)即x = 1 時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng)　本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值.3) 　分離例3 　求的值域.解析　本題看似無法運(yùn)用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離..當(dāng)x + 1 0 ,即x 1 時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時(shí)取“ = ”號(hào)) .當(dāng)x + 1 0 ,即x 1 時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)x = 3 時(shí)取“= ”號(hào)) .故所求的值域?yàn)? ∞,1 ] ∪[9 , + ∞) .點(diǎn)評(píng)　分式函數(shù)求最值,通?；?( A 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負(fù)) 的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求.鏈接練習(xí)1. 某公司一年購買某種貨物400 t ,每次都購買x t ,運(yùn)費(fèi)為4 萬元/ 次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4 x 萬元. 要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x = ＿t .2. 若a、b、c 0 且a( a + b + c) + bc = ,則2 a + b + c的最小值為( 　　) .A 　 。這時(shí)寬為故這個(gè)菜園的長為,寬為時(shí),菜園面積最大,最大面積是　均值不等式的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和認(rèn)知投入本人在這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生思維,讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并相互探討,尋求以上例題的解法,直接或變形后運(yùn)用均值不等式及其相關(guān)結(jié)果,學(xué)生感到很輕松,非常感興趣,并能自覺或不自覺地用聯(lián)系和理解的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不是依賴于死記硬背的方法,對(duì)完成學(xué)習(xí)任務(wù)有一種愉快的感覺,學(xué)生在領(lǐng)會(huì)知識(shí)方面具有一定的獨(dú)立性,能夠舉一反三,觸類旁通,充分體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱情投入,這一良性循環(huán),對(duì)今后的學(xué)習(xí),對(duì)素質(zhì)的培養(yǎng),將具有深遠(yuǎn)的影響。例11:已知a b 0,求的最小值。由 解得即當(dāng)x = 1, y = 2時(shí), 取得最小值3. 2　研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果對(duì)a 0, b 0,作進(jìn)一步研究,顯然有,又由于等價(jià)的均值不等式 因此,對(duì)于a 0, b 0,有三個(gè)重要結(jié)論:① 　② 。解：所以 最小值為6。 　均值不等式的拓展及其相關(guān)結(jié)論. 1　均值不等式的拓展以上所談均值不等式,都是針對(duì)兩個(gè)正數(shù)而言,推廣到任意的n個(gè)正數(shù)ai ( i = 1, 2?n)也有均值不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),在中學(xué)教材中,大都是用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式,有時(shí)也用三個(gè)正數(shù)的均值不等式,其不等式形式為:已知a, b, c為正數(shù),則,該式的證明在高二教材第24頁有說明,其應(yīng)用條件仍與兩個(gè)正數(shù)的均值不等式的三個(gè)條件相同。例5:過點(diǎn)P (2, 1)作直線L交X , Y軸正向于A, B 兩點(diǎn), 求L的方程,使三角形AOB 的面積最小。下面舉出一些實(shí)例。條件一:在所求最值的代數(shù)式中,各變數(shù)都是正數(shù),否則變號(hào)轉(zhuǎn)換。　均值不等式是攻破最值問題的有力武器對(duì)均值不等式認(rèn)真觀察分析知道,若兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的和有最小值。關(guān)鍵詞　均值不等式，最值，應(yīng)用DISCUSSION ON INEQUALITY