【正文】 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應成比例，那么這兩個三角形．相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。 相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。 說明：外分點分線段所得的兩條線段，也就是這個點分別和線段的兩個端點確定的線段。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應線段成比例。 格式：如果直線L1∥L2∥L3， AB＝ BC， 那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l說明：由此定理可知推論1和推論2 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰。 1合比性質(zhì)：如果，那么 12．等比性質(zhì)：如果，（），那么 說明：應用等比性質(zhì)解題時常采用設已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。 比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。 比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項?！　〉谒恼拢合嗨菩沃R點：一、比例線段比：選用同一長度單位量得兩條線段?！　±鐖D483，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點，且MN⊥AB。例已知：如圖431，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60176。例題： 例如圖412，求∠B+∠C+∠D的度數(shù)和?！? （3）將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋€圖形，利用新的圖形減去所補充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。如圖3－l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點向這條對角線引垂線，把六邊形分成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。 梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。 等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。 等腰梯形性質(zhì)定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。 梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底） 梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。 注意：要判定四邊形是正方形的方法有 方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。 正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。 法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。 菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。（這是判定定理2） 四、菱形 菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。 矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。時，其它的邊、角位置也都隨之變化。 說明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。 平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。 1多邊形內(nèi)角和定理的推論：n邊形的外角和等于360176。 注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內(nèi)角的鄰補角。 說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。 多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。這時可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。 如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。 定理2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。 就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個角等于60176。八、作圖題舉例重要解決求作三角形的問題 已知兩邊一夾角，求作三角形． 已知底邊上的高，求作等腰三角形 九、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。經(jīng)過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，適當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。 例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。 定理一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。 ∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C` 五、全等三角形的判定 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 全等用符號“≌”表示 △ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`， B和B`， C和C`是對應點。 推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 由定理可以知道，三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角。則∠C＝180176。 三、三角形的內(nèi)角和 定理三角形三個內(nèi)角的和等于180176。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。 三角形的角平分線。而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關的以C為頂點的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個角組成一分周角，則可推出結論。它的補角為180 – x，這就可以列方程了。 [規(guī)律總結]從一個頂點引出多條射線時．為了確定角的個數(shù)，一般按邊順序分類統(tǒng)計，避免既不重復又不遺漏。 例如圖1－4在線段AE上共有5個點A、B、C、D、E怎樣才數(shù)出所有線段， [思路分析]本問題如不認真審題會誤以為有4點恰有4個空就是4條線段即AB、BC、 CD、 ED；而如果從一個端點出發(fā)、再找出另一個端點確定線段，就會發(fā)現(xiàn)有10條線段： 即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。求：AD的長。 如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。 平行線的性質(zhì) （1）兩直線平行，同位角相等。 說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。 說明：點到直線的距離和平行線的距離實際上是兩個特殊點之間的距離，它們與點到直線的垂線段是分不開的。簡單說：垂線段最短。 兩條直線互相垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。 同角或等角的余角相等。 互為余角：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。 （5）周角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角。表示法有三種：如圖1—2 （1）∠AOC＝∠BOC （2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。要弄清定義中的兩個重點①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個公共端點。” 四、線段： 線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。幾何部分第一章：線段、角、相交線、平行線知識點： 一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無限延伸”。 [規(guī)律總結］明確方差或標準差是衡量一組數(shù)據(jù)的波動的大小的，恰當選用方差的三個計算公式，應抓住三個公式的特征，根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點選用計算公式。 例一次科技知識競賽，兩次學生成績統(tǒng)計如下 已經(jīng)算得兩個組的人均分都是80分，請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識進一步判斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由 解：（l）甲組成績的眾數(shù)90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從眾數(shù)比較看，甲組成績好些。 樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。 （5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數(shù)據(jù)的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。 （2）頻數(shù)：每個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)。 注：當各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時，用該法計算方差較簡便。 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點P的坐標，再利用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。 注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意義。 函數(shù)：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。 不同位置點的坐標的特征： （1）各象限內(nèi)點的坐標有如下特征： 點P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 點P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0； 點P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 點P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。 分析：因為關于x的不等式的解集為x＞3，與原不等式的不等號同向，所以有a – 2 0，即原不等式的解集為，解此方程求出a的值。 （1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2） 分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數(shù)化成1，需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號要改變方向。C≠0，否則應有= 故a＞b 解：略 ［規(guī)律總結］將不等式正確變形的關鍵是牢記不等式的三條基本性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進行討論。 一元一次不等式組： （l）概念：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。 不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。 不等式的性質(zhì)： （l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變，如a＞ b， c為實數(shù)a＋c＞b＋c（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，如a＞b， c＞0ac＞bc。解：略例%，所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：稅后利息=已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲戶存入了多少本金？ 分析：設存入x元本金，%(120%)x元，方程容易得出。列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。例解下列方程組：（1） ； （2）分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關系來求解；（2）要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。例求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程的兩個根小3分析：先出求原方程的兩根之和和兩根之積再代入求出和的值，所求的方程也就容易寫出來。分析：由題意可得=0，把各系數(shù)代入=0中就可求出p，但要先化為一般形式。例解下列方程：（1）；（2）分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組 一次方程組： （1）二元一次方程組： 一般形式：（不全為0） 解法：代入消遠法和加減消元法 解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)的解。 （2）分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。 二、一元方程 一元一次方程 （1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0） （2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為1。