black-scholes期權(quán)定價(jià)模型-wenkub.com
2025-08-01 09:00 本頁面
【正文】 ? 改變波動(dòng)率的估計(jì)的方式會(huì)提高布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。 2022/8/21 41 例 2 ? 假設(shè)一種 1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在 5個(gè)月和 11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為 ，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為 50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為 50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年 30%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，求該期權(quán)的價(jià)值。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價(jià)方法。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，我們只要將 Se－ q（ Tt） 代替前面公式中的 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。 ? 資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為 er(Tt)STN(d1)= SN(d1) ? （標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán) :如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付 1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為 1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為 er(Tt) N(d2)。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 2022/8/21 30 前文的兩個(gè)重要結(jié)論 ? 股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 2022/8/21 31 black－ Scholes期權(quán)定價(jià)公式 ? 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： （ 3） ? 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ? 10= [11p+9(1p)] ? P=%。 f＝ ? 這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為 ，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹担?3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。 ? 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于 3個(gè)月后股票的市價(jià)。 ? 盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。令 代表該投資組合的價(jià)值，則： 22221()2S S t S zf f f ff S S t S zS t S S??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?和z?fS???ffSS?? ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時(shí)間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑挘瑯?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。 22?????2022/8/21 19 小結(jié) ? 我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)：符合弱式有效、對數(shù)正態(tài)分布的市場現(xiàn)實(shí)，以及投資者對收益率而非價(jià)格的關(guān)注。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 μ是無關(guān)的。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)TTTSSSS S T t TStTt???? ? ??? ? ??? ? ? ????（T ），＝可得T由2022/8/21 17 結(jié)論 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程。這表明 ST服從對數(shù)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長度平方根成正比。 SS?ttSS ????? ???~ ( , )S ttS ? ? ?? ??t?? t? ? 2 t? ?2022/8/21 13 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 2） ? 但是，在一個(gè)較長的時(shí)間 T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： ? 多期收益率的乘積問題 ? 因此，盡管 σ 是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長度 T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。 ? 連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?shù)之和不是和的對數(shù)。從而產(chǎn)生悖論。這比較符合現(xiàn)實(shí)。 ? 投資者感興趣的不是股票價(jià)格 S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。 ? 很顯然，這是一個(gè)漂移率為 μ S、方差率為 σ 2S2的伊藤過程。 ? I
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