第六章時(shí)變線(xiàn)性系統(tǒng)-wenkub.com
2024-08-08 13:24 本頁(yè)面
【正文】 貝爾曼 : 美國(guó)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代控制理論的主要奠基人，主要貢獻(xiàn)是提出了最優(yōu)控制的“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”方法。 0101ABtte e B G????提 示 ： 令， 利 用 引 理 ， 可 證 明 當(dāng)時(shí) 系 統(tǒng) 是 穩(wěn) 定 的 。 BG不等式 上個(gè)世紀(jì)微分方程研究領(lǐng)域最重要的成果之一，它和小增益定理一起，是許多控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)中不可或缺的工具。定理 62的條件并不苛刻，由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不易求得，故該定理在系統(tǒng)分析中是應(yīng)用得比較廣泛的。 例 63 考慮一維系統(tǒng) 33 0203 6 ( , ) ?? ? ? ? ttx t x t u t t e?取 ? =1時(shí)的可控性矩陣是 12 2 2( , 1 ) 6 ( , ) 1 [ 6 6 2 ]ttW t t t d t tt t t?? ? ? ? ? ? ? ?? e x p因?yàn)閷?duì)于所有的 t 均有 121 ( , 1 ) 1?? ? ? ?We t t因此（ 62）式成立。 為此，只要利用 ? B(t)? K 及引理 2： ()( , ) ,Ktt e t??? ttt?222 1( , ) ( , ) ( 1 )2WtKtt t K t d K e??? ? ? ??sss t t?就 有21 2） 證明 （ 63） 成立 p6。A B B A??? ? ? ?若 則22 . ,A A I????若 則 。 （ 2） W(t0, t1 )對(duì)于 t1t0 是非負(fù)定的 。又因?yàn)?Φ=I，所以 (63)式也成立。事實(shí)上，因 Φ=I， 2 2 2W ( , ) 0 .5 ( 1 )t ttt t e d e es tsst ? ? ? ?? ? ? ??當(dāng) t 充分大時(shí)，因子 e?2t 可任意地小 , 故使 22 1( , ) 0 .5 ( 1 ) ( )W tt t e e ss a s??? ? ? ?成立的 ?1(?) 不存在。 然而，若其是一致完全可控的，則總能在長(zhǎng)度為 ? 的一段時(shí)間完成，此外，控制輸入的幅度不會(huì)是任意大的（正比于 W?1)。 2） 條件 (63)等價(jià)為如下的可達(dá)性條件 ()： 340 ( ) ( , ) ( ) ( 6 4 )I Y Itta s s a s? ? ? ? ?這 里 ，( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ,( , ) ( ( ))) ( ) ,Φ W ΦΦ BB ΦΦ BB ΦsTTsTtTTttst t t t t ttdsstdssss s ss t t t s t tt t t t t????? ? ?? ? ???????( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )BBY t TTt t t dtt ss t t t t t? ?? ?? ?事 實(shí) 上 ，3) 一致可控性保證在時(shí)間定義域內(nèi) 任何時(shí)刻 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移均可在時(shí)間間隔 ? 內(nèi)完成，而與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 340 ( ) ( , ) ( , ) Φ ( , ) ( ) (6 3 )Tt t t t t ta s s s s a s?
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