第六章時(shí)變線性系統(tǒng)-文庫吧
2025-07-17 13:24 本頁面
【正文】 ( , ) ( ) ( ) ( , )W B Bt TTtt t t t dss t t t t t?? ? ? ??討論： 1) 由第二章： (A(t),B(t))在 t0時(shí)刻可控的充分必要條件是存在有限的 t1t0， 使得 W(t0,t1)非奇異。注意到 W(t0,t1) 至少半正定，故非奇異意味其正定。易見，滿足上述矩陣不等式， W正定。 2） 條件 (63)等價(jià)為如下的可達(dá)性條件 ()： 340 ( ) ( , ) ( ) ( 6 4 )I Y Itta s s a s? ? ? ? ?這 里 ，( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ,( , ) ( ( ))) ( ) ,Φ W ΦΦ BB ΦΦ BB ΦsTTsTtTTttst t t t t ttdsstdssss s ss t t t s t tt t t t t????? ? ?? ? ???????( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )BBY t TTt t t dtt ss t t t t t? ?? ?? ?事 實(shí) 上 ，3) 一致可控性保證在時(shí)間定義域內(nèi) 任何時(shí)刻 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移均可在時(shí)間間隔 ? 內(nèi)完成，而與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)。這里所說的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，包括了 ? 從 t 時(shí)刻的任何狀態(tài)轉(zhuǎn)移到 t+? 時(shí)刻的零狀態(tài)（可控） ? 從 t?? 時(shí)刻的零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到 t 時(shí)刻的任意狀態(tài)（可達(dá)） 這兩點(diǎn)分別由（ 62）式與（ 63）式所保證。 t?? t t+ ? 采用第二章（習(xí)題）中的方法，可以證明，控制 01( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ]1B Φ W ΦTTu t t t x t t xt t t s s?? ? ? ? ?可 在時(shí)間段 ? 中 將時(shí)刻 x(t)的任意狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時(shí)刻x(t+ ?)的任意狀態(tài) x1。 若系統(tǒng)僅僅是可控的，則完成狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能需要很長的時(shí)間，或者要求控制的幅度極大 。 然而，若其是一致完全可控的，則總能在長度為 ? 的一段時(shí)間完成，此外，控制輸入的幅度不會是任意大的（正比于 W?1)。 在最優(yōu)控制理論中，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有時(shí)需要一致完全可控這一條件。 例 61 考慮一維線性系統(tǒng) ||?? tx e u系統(tǒng)是可控的，因?yàn)閷θ我獾?t0， W(t0, t1)0。 但不是一致完全可控的。事實(shí)上，因 Φ=I， 2 2 2W ( , ) 0 .5 ( 1 )t ttt t e d e es tsst ? ? ? ?? ? ? ??當(dāng) t 充分大時(shí)，因子 e?2t 可任意地小 , 故使 22 1( , ) 0 .5 ( 1 ) ( )W tt t e e ss a s??? ? ? ?成立的 ?1(?) 不存在。這說明在任意 t0時(shí)刻可控不一定有一致完全可控。 一致完全可控一定可推得在 t0時(shí)刻的可控性，但反之一般不成立。 例 62 一維線性系統(tǒng) ()?x b t u5 21 ( , 5 ) ( ) 5 ,W ttt t b d ttt?? ? ? ? ??若選擇 ? =5，有 ()bt其 中 由 下 圖 所 示 ：t 1 2 b(t) 1此時(shí) (62)式成立。又因?yàn)?Φ=I，所以 (63)式也
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