數(shù)學(xué)分析各?？佳性囶}及答案-wenkub.com
2025-06-21 05:59 本頁(yè)面
【正文】 若不收斂，同理可知不收斂。由假設(shè)。由于，存在，當(dāng)時(shí)。證明：八、 在底面半徑為a，高為h的正圓錐內(nèi)作長(zhǎng)方體，其一面與圓錐地面重合，對(duì)面四個(gè)頂點(diǎn)在錐面上，求長(zhǎng)方體的最大體積。證明：（分析：壓縮映像原理）二、 對(duì)任意δ 0。證明收斂，并求其極限分析：只須滿足即可。不正確。不妨設(shè)收斂于a，利用單調(diào)性那么不難證明也收斂于a2）子列的子序列和收斂，則序列也收斂不正確。證明：七、 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]內(nèi)可積，證明:對(duì)[a,b]內(nèi)任意分割證明：八、 求級(jí)數(shù)：解：九、 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在(0,1)和(1,+∞)的一致收斂性討論：1） 0x12） x1十、 計(jì)算為圓錐曲面被平面z=0,z=2所截部分的外側(cè)。證明：反證法，假設(shè)A={x|f(x)≠0}，那么mA0。 證明：構(gòu)造一一對(duì)應(yīng)y=arctanx。所以在上一致收斂于。由HeineBorel 定理，從開(kāi)區(qū)間族中可以選出有限個(gè)， 使 。有，以及 同時(shí)成立。6．設(shè)函數(shù)列滿足下列條件：（1），在連續(xù)且有（） （2）點(diǎn)點(diǎn)收斂于上的連續(xù)函數(shù)證明：在上一致收斂于 證法1：首先，因?yàn)閷?duì)任意。 所以它們的交線是該球面上的極大圓。所以該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。 此函數(shù)的方向極限都存在。綜合得： 4．試作出定義在中的一個(gè)函數(shù)，使得它在原點(diǎn)處同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： （1）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在；（2）任何方向極限都存在；（3）原點(diǎn)不連續(xù) 解： 。（若肯定回答，請(qǐng)證明；若否定回答，舉例說(shuō)明）證明:否定回答.顯然此而3．設(shè). (1)求的麥克勞林展開(kāi)式。3 解：從而 即得解。又由得到a=。由一致收斂，則可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，也一致收斂且連續(xù)，故連續(xù)可導(dǎo)：設(shè)存在有，不妨設(shè)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知道存在一個(gè)鄰域當(dāng)時(shí)，則存在一個(gè)圓周與已知矛盾。(2)參考實(shí)變函數(shù)的有關(guān)教材。2004年南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案1. 2. ,=，即證設(shè)，證完。三、 設(shè)試確定的取值范圍，使f(x)分別滿足：（1） 極限存在（2） f(x)在x=0連續(xù)（3） f(x)在x=0可導(dǎo)解：（1）因?yàn)?=極限存在則2+知(2)因?yàn)?0=f(0)所以要使f(x)在0連續(xù)則（3）所以要使f(x)在0可導(dǎo)則四、設(shè)f(x)在R連續(xù)，證明積分與積分路徑無(wú)關(guān)解；令U=則=又f(x)在R上連續(xù)故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以積分與路徑無(wú)關(guān)。 （此題應(yīng)感謝小毒物提供思路）五、 設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且,證明證：因f(x)在[a,b]可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在即有六、設(shè)單減而且收斂于0。4.=== =，Q=，積分與路徑無(wú)關(guān)，則6. ,又當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，原題得證，其中，原題得證8.（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)命題成立，若當(dāng)時(shí)命題也成立，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)連續(xù)。2005年南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案2.，其中由 求出3.，則在上一致收斂，又在上連續(xù)，則在上連續(xù)。，時(shí)，綜上，若對(duì)任意的有，則在時(shí)，不存在，矛盾。2 證明: 用反證法。（利用余元公式、換元、函數(shù)更為簡(jiǎn)單）4 證明：知,從而令有 從而得證。(2)求。顯然這個(gè)函數(shù)在 的時(shí)候，有偏導(dǎo)數(shù)存在 ，而對(duì)于的時(shí)候，有 ，此式在原點(diǎn)也成立。最后，因?yàn)檠夭煌较蜈呄蛟c(diǎn)。5．。再由坐標(biāo)的對(duì)稱性。且有，所以，對(duì)于任意，有。因此，當(dāng)， 時(shí)，有 。由的選法。 證畢。計(jì)算積分，其中D是x=0,y=1,y=x圍成的區(qū)域 解：計(jì)算第二類曲線積分：，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。三、 設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（0，+）內(nèi)連續(xù)且有界，是討論f(x)在（0，+）內(nèi)的一致連續(xù)性。解：十一、設(shè)f(x)在[0,1]上單調(diào)增加,f(0)=0,f(1)=1,證明： 證明：十二、設(shè)f(x)在[0,+∞]上連續(xù)，絕對(duì)收斂，證明： 證明：十三、設(shè)，證明： 當(dāng)下極限時(shí)，級(jí)數(shù)收斂
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