【正文】 為母函數(shù)，故為正則變換。：①根據(jù)泊松括號的定義：②所以同理可知：, 由②得：同理可得：, 因?yàn)楣释砜汕蟮茫杭匆驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗?(1)小環(huán)的位置可以由角唯一確定，因此體系的自由度，取廣義坐標(biāo)，廣義速度。由①由已知得故②約束方程③聯(lián)立②③可求得 或 又由于故或 按題意僅重力作用，為保守系。去掉繩代之以力T，且視為主動(dòng)力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。 ，以轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)闃O角方向建立坐標(biāo)系。建立與碾輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，設(shè)碾輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。對圓柱有如下基本運(yùn)動(dòng)微分方程：①②③④⑤由①②③④得⑥將⑤代入⑥得 。設(shè)桿的長度為，質(zhì)量為。設(shè)大球和小球的半徑分別為。由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理可知：①②③④由①②③④得：設(shè)球與板的接觸點(diǎn)為，則時(shí)刻點(diǎn)的速度為：⑤⑥球由滑動(dòng)變?yōu)闈L動(dòng)的條件是： ⑦由⑤⑥⑦解得： 。同樣根據(jù)動(dòng)量矩，在軸方向：可以證明：類似于位移、加速度、初速度和末速度之間的關(guān)系式。繩子上的彈力為。由動(dòng)量定理知：③④以為基點(diǎn)：假設(shè)繩不可拉伸。設(shè)此時(shí)的角速度為，則右邊第一項(xiàng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，第二項(xiàng)為桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。由于圓盤作無滑滾動(dòng)，所以為圓盤的瞬心，故，設(shè)圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則①因?yàn)辄c(diǎn)的速度沿地面水平向右，分別作和的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為桿的瞬心。當(dāng)點(diǎn)的極角為時(shí)，易知點(diǎn)的極角，故點(diǎn)的極徑易證明為等腰三角形。設(shè)。設(shè)球的角速度，則設(shè)輪緣上任意一點(diǎn)，與軸交角為，則故當(dāng)時(shí)，得最高點(diǎn)的速度當(dāng)和時(shí)分別得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度 ，由題意知該時(shí)刻瞬心一定處在的垂線中。當(dāng)很小時(shí)，代入上式得：①圓弧上對應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度 ②又③其中，將②③代入①得④解④式得通解微振動(dòng)周期 。又由于，解得：故當(dāng)時(shí)，㏑。均質(zhì)圓盤的密度為。設(shè)正方體的邊長為。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為： 可求該切面的面積故積分同理可求 故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得： 設(shè)表示距球心為的一薄球殼的質(zhì)量，則所以該球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量 ①在對稱球中，繞直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量②又球的質(zhì)量 ③又繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑④由①②③④得 。為三個(gè)原子分子的質(zhì)心。即：③又因梯子是一個(gè)剛體。梯子受到地面和墻的彈力分別為，受地面和墻的摩擦力分別為。軸豎直向下，相同的球、互切，、切于點(diǎn)。棒受到的重力。即： ①②③由①②③式得：④又由于即⑤將⑤代入④得： ，均質(zhì)棒分別受到光滑墻的彈力，光滑棱角的彈力，及重力。棒與水平方向的夾角為。把③代入④得之后火箭作初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。又當(dāng)時(shí)，=而要用此火箭發(fā)射人造太陽行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。對于雨滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。雨滴是本題。用動(dòng)量守恒，有==又因?yàn)? 解 這是一道變質(zhì)量的問題，對于此類問題，（）式①來分析。有 此類題為變質(zhì)量問題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系。①有恢復(fù)系數(shù)②聯(lián)立①②得再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對固定點(diǎn)位矢，分別為 ，對同一固定點(diǎn)的位矢所以（質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。經(jīng)過時(shí)間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度：因此 解 對于質(zhì)心系的問題，我們一般要求求出相對固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對或絕對物理量及其間的關(guān)系。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒：①隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣?方向上有②故恢復(fù)系數(shù)定義有：= 即③ 聯(lián)立①②③得 解 如圖所示， 有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開始時(shí)靜止。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。以、為研究對象，系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒。 當(dāng)沿半圓球下滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。任取一微質(zhì)量元， 所以圓盤繞此軸的動(dòng)量矩= 解炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻?，并一此速度分別作平拋運(yùn)動(dòng)。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。所以相對下滑。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。設(shè)均勻球體的密度為。令又因?yàn)?，上式化為：因?yàn)榧此寓儆忠驗(yàn)樾行菣E圓軌道運(yùn)動(dòng)周期即常數(shù)，故又因?yàn)? 為正焦弦的一半所以 ② 由題意可知 即 ③把②③代入①可得化簡可得即 兩邊積分，由題設(shè)即 質(zhì)點(diǎn)在有心力場中運(yùn)動(dòng)，能量和角動(dòng)量均守恒。即即⑤又因?yàn)樗寓薨癣茛薮擘埽?⑥式代入時(shí)取“+”即可）故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間為⑦設(shè)地球繞太陽運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為。則彗星的近日點(diǎn)距離為。有，常數(shù)，有故得證。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動(dòng)能定理沿方向得 證 （）依據(jù)上題結(jié)論。勢能為： 證 質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的力的作用。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn)，切線方向受力分析：①法線方向受力分析有：②對①兩邊同乘以即兩邊同時(shí)積分③把③代入②可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對速度綜上所述，小環(huán)的相對速度圈對小環(huán)的反作用力：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時(shí)，因?yàn)楣β逝c牽引力有如下關(guān)系：所以即對兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時(shí)，設(shè)=，為常數(shù)。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來分析此題，則質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為的非慣性力，方向與相反。因?yàn)棰偌此杂謫螖[擺角很小，有=上式即化為：②此即為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動(dòng)方程。第一章 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)第一章習(xí)題解答 :設(shè)開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢. 解 由題可知,.設(shè)船經(jīng)過小時(shí)向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時(shí)經(jīng)過燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對時(shí)間求導(dǎo) 船相距最近，即，所以即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km 解 由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.（2）要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷蛇叿謩e求導(dǎo)故有所以 解 ，繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在上滑動(dòng)，因此點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗?點(diǎn)加速度 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對等式兩邊同時(shí)積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時(shí)，故即又因?yàn)樗詫Φ仁絻蛇呁瑫r(shí)積分，可得： 解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度①沿垂直于位矢速度又因?yàn)? ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對③求導(dǎo) 對④求導(dǎo) 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 解 由題可知 ①②對①求導(dǎo) ③對③求導(dǎo) ④對②求導(dǎo) ⑤對⑤求導(dǎo) ⑥對于加速度，即 ⑦⑧對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦，⑧即得 ⑨⑩⑨+⑩得 ⑾把④⑥代入 ⑾得同理可得 以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，]則點(diǎn)坐標(biāo)對兩式分別求導(dǎo)故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對求導(dǎo)可得（利用）又因?yàn)? 即 所以 故有