【正文】 復(fù)擺的動(dòng)能：取為勢(shì)能零點(diǎn)，則勢(shì)能：復(fù)擺的拉氏量：①由哈密頓原： 故又因?yàn)?②因?yàn)榈娜我庑运杂校?根據(jù)已知很小，③可求得：其中為初相位。選為廣義坐。設(shè)與地面成夾角，由于沿瞬時(shí)軸方向，所以：故第四章 轉(zhuǎn)動(dòng)參考系第四章習(xí)題解答.坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于轉(zhuǎn)動(dòng)的固定點(diǎn)，軸沿軸與角速度的方向一致，即設(shè)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度為則有題意得：故在點(diǎn)時(shí)的絕對(duì)速度設(shè)與軸的夾角為，則故與邊的夾角為，且指向左上方。設(shè)桿脫離墻時(shí)，桿的角速度為橫縱速度分別為當(dāng)桿落地時(shí)，質(zhì)心的橫縱速度分別為桿的角速度為。由于﹥，所以圓柱與斜面接觸的邊緣有相對(duì)與斜面向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以斜面對(duì)圓柱的摩擦力沿斜面向下。因?yàn)槲飰K的加速度應(yīng)與點(diǎn)加速度一樣大小，故 ③由①②③解得：（2）假若飛輪受到的阻尼力矩為的話，由（1）問知，飛輪的角加速度。解①②得④所以質(zhì)心的軌跡為一拋物線。所以點(diǎn)軌跡位于軸上方，半徑為的半圓，如圖虛線所示。則易知的方向如圖，在中即為與邊的夾角大小。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。且故正方體繞對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量①又由于②繞對(duì)角線的回轉(zhuǎn)半徑③由①②③得 。設(shè)、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。設(shè)梯長(zhǎng)為，與地面夾角為。由題意可知，整個(gè)均質(zhì)棒沿軸方向的合力矩為零。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。 要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。即③為常數(shù)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。（負(fù)號(hào)表示與相反）同理，碰撞前兩球相對(duì)質(zhì)心的速度（負(fù)號(hào)表示方向與相反）所以開始時(shí)兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：== 用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。 解 類似的碰撞問題，我們一般要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來分析條件求出未知量。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。代入質(zhì)心計(jì)算公式，即 解 ，原來與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。掃過扇形速度 ⑧（）由證明（）知彗星在地球軌道內(nèi)停留時(shí)間對(duì)此式求極大值，即對(duì)求導(dǎo)，使即即 得驗(yàn)證故為極大值，代入⑧式可知 解 由167。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以 證 由題意可知，質(zhì)點(diǎn)是以太陽為力心的圓錐曲線，太陽在焦點(diǎn)上。 解由題可知（因?yàn)槭且?，方向與徑向相反所以要有負(fù)號(hào)）由運(yùn)動(dòng)微分方程即 ①對(duì)上式兩邊積分故又因?yàn)榕c的方向相反，故取負(fù)號(hào)。對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)的支持力等大反方向。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長(zhǎng)6正方形飛行一周所需總時(shí)間 解 船停止時(shí)，干濕分界線在蓬前3， 故又因?yàn)?，所以由圖可知所以=8 以一岸邊為軸，.所以水流速度又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹樗浴?解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)。所以 解 要滿足勢(shì)能的存在，即力場(chǎng)必須是無旋場(chǎng)，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。對(duì)數(shù)螺旋線為常數(shù)。故近日點(diǎn)有即 ①又因?yàn)樗寓冢ㄥ缧窃趩挝粫r(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積）掃過扇形面積的速度③又因?yàn)楣蕛蛇叿e分④ 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有 解 把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有 ①對(duì)分析；因?yàn)?②在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o加速度，所以 ⑨于是 ⑩ 解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。、速度分別為、與軸正向夾角分別為、。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)椋S即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒。它的速度由變?yōu)?。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒受到重力。即： ②由式得： 。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（）故①且 ②由①②得所以中心慣量主軸：（b），該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。由對(duì)稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。所以，將代入上式得： 。以為基點(diǎn)。現(xiàn)分別作與的垂線交于點(diǎn)，則即為瞬心（）。桿從水平位置擺到豎直位置過程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。設(shè)軸過點(diǎn)垂直紙面向外。設(shè)球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無滑條件：①②③④⑤從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過程中，機(jī)械能守恒，即⑥⑦由①～⑦解得 坐標(biāo)系。為軸。得由虛功原理 故①因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故②又由 得： ③由②③可得 ，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。：取在廣義坐標(biāo)根據(jù)教材（）和（）式得動(dòng)能：勢(shì)能：根據(jù)定義式故因?yàn)楣实脼榈诙€(gè)第一積分.同理即得為第三個(gè)第一積分., ①根據(jù)定義②得③根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標(biāo),廣義速度.⑶小球動(dòng)能又由①式得設(shè)小球勢(shì)能為V,取固定圓球中心O為零勢(shì)點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)=①根據(jù)定義有根據(jù)正則方程④⑤對(duì)式兩邊求時(shí)間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度167。又且當(dāng)，變?yōu)闀r(shí)證：由①又故②由于代入②式得得所以存在母函書使：因此，這種變換是正則變換.解:由于故①②由②得又有又③④又故⑤當(dāng)時(shí),由③式得:即當(dāng)時(shí), 163 。因?yàn)橐阎?，在球面坐?biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：由于所以又由于故取Ox為零勢(shì)，體系勢(shì)能為：故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為： .平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程①在廣義力代入①得：②在極坐標(biāo)系下：③故 將以上各式代入②式得 又由于所以①取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面 ②拉氏函數(shù)③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得：.(1)由于細(xì)管以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此=可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.(2)取廣義坐標(biāo).(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能取初始水平面為零勢(shì)能面，勢(shì)能:拉氏函數(shù)①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.②特解為故①式的通解為③在時(shí)： ④⑤聯(lián)立④⑤得將代回式③可得方程的解為： .（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)，.（3）在柱坐標(biāo)系中：以面為零勢(shì)能面，則：拉氏函數(shù)①（4）因?yàn)椴伙@含，所以為循環(huán)坐標(biāo)，即常數(shù)②對(duì)另一廣義坐標(biāo)代入保守系拉氏方程③有得④所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（為常數(shù)）所以.（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)（3）質(zhì)點(diǎn)的速度劈的速度故體系動(dòng)能以面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：其中為劈勢(shì)能.拉氏函數(shù)①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③聯(lián)立②，③得 解 （1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保