【正文】 第一章 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)第一章習(xí)題解答 :設(shè)開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢. 解 由題可知,.設(shè)船經(jīng)過小時(shí)向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時(shí)經(jīng)過燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 船相距最近，即，所以即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km 解 由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡(jiǎn)整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.（2）要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷?duì)兩邊分別求導(dǎo)故有所以 解 ，繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在上滑動(dòng)，因此點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗?點(diǎn)加速度 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對(duì)等式兩邊同時(shí)積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時(shí)，故即又因?yàn)樗詫?duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得： 解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度①沿垂直于位矢速度又因?yàn)? ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對(duì)③求導(dǎo) 對(duì)④求導(dǎo) 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 解 由題可知 ①②對(duì)①求導(dǎo) ③對(duì)③求導(dǎo) ④對(duì)②求導(dǎo) ⑤對(duì)⑤求導(dǎo) ⑥對(duì)于加速度，即 ⑦⑧對(duì)⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦，⑧即得 ⑨⑩⑨+⑩得 ⑾把④⑥代入 ⑾得同理可得 以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，]則點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)兩式分別求導(dǎo)故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對(duì)求導(dǎo)可得（利用）又因?yàn)? 即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸） 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度表達(dá)式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以 又因?yàn)樗俾时３譃槌?shù)，即為常數(shù)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交. ，則質(zhì)點(diǎn)切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式 ①又因?yàn)? ② 所以 ③ ④聯(lián)立①②③④ ⑤又把兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得又因?yàn)?所以 ⑥把⑥代入⑤既可化為對(duì)等式兩邊積分所以 兩式相比得即 對(duì)等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律. ①②所以 ，聯(lián)立①②，有又因?yàn)樗? ，對(duì)等式兩邊分別積分，利用初始條件時(shí)， 證（）當(dāng)，即空氣相對(duì)地面上靜止的，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系的絕對(duì)速度， 指向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考系的速度， 指運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)靜止參考系的速度.可知飛機(jī)相對(duì)地面參考系速度：=， .（）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)速度飛行時(shí)間 當(dāng)飛機(jī)向西飛行時(shí)速度飛行時(shí)間故來回飛行時(shí)間即 同理可證，當(dāng)空氣速度向西時(shí)，來回飛行時(shí)間（c）所以來回飛行的總時(shí)間 同理可證空氣速度向南時(shí)，來回飛行總時(shí)間仍為 。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長(zhǎng)6正方形飛行一周所需總時(shí)間 解 船停止時(shí)，干濕分界線在蓬前3， 故又因?yàn)椋杂蓤D可知所以=8 以一岸邊為軸，.所以水流速度又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹樗浴．?dāng)時(shí)，即 ①②得，兩邊積分 ③聯(lián)立②③，得 ④同理，當(dāng)時(shí)，即 ⑤由④知，當(dāng)時(shí)，代入⑤得有 ，所以船的軌跡船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有 解 以為極點(diǎn)，.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 ①②②/①得 ，對(duì)兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時(shí)，.設(shè)有得 解 質(zhì)點(diǎn)沿下滑，斜槽，易知，由正弦定理即 ① 又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).所以 ②有①② 欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對(duì)求導(dǎo) 極大值時(shí)，故有由于是斜面的夾角，即所以 解 ，上升時(shí) 下降時(shí)則兩個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升 ①下降： ②對(duì)上升階段:即 對(duì)兩邊積分所以 ③即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對(duì)下降階段：即 ④由③=④可得 .水平方向不受外力，作勻速直線運(yùn)動(dòng)有 ①豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有 ②由①得 ③代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，求出極值點(diǎn).即 所以，代入的表達(dá)式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離的最大值 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： ①軌道的法線方向上有： ②由于角是在減小的，故 ③由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于的等式由①即 ④把代入可得 ⑤用④⑤可得 即，兩邊積分得 ⑥代入初始條件時(shí)，即可得代入⑥式，得 ⑦又因?yàn)樗? ⑧把⑦代入⑧積分后可得 .電子受力則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 ②③④由②，即⑤代入③整理可得 ⑥對(duì)于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時(shí)，得 時(shí)，得,故⑦同理，把⑦代入⑤可以解出把⑦代入⑤代入初條件時(shí)，） （a），時(shí)，則電子運(yùn)動(dòng)受力電子的運(yùn)動(dòng)微分方程 ①②③對(duì)②積分 ④對(duì)④再積分 又故（為一常數(shù)）此即為拋物線方程.當(dāng)時(shí)則電子受力 則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 ①②③，聯(lián)立①②解之，得于是 及電子軌道為半徑的圓. 解以豎直向下為正方向， 以①①②③處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個(gè)物體運(yùn)動(dòng)微分方程為： ①②③由②于③與、之間是，即不可伸長(zhǎng)輕繩連接，所以有，即 ④之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 ⑤由①⑤得 ⑥由②③④得 ⑦代入①，有 ⑧代入⑥，有 ⑨此即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解⑨得以初始時(shí)③為原點(diǎn)，時(shí)，.所以 ⑩代入①得聯(lián)立③④⑧⑩得，選向下為正方向，.，只有重力做功，機(jī)械能守恒： ①②聯(lián)立①②得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的彈力，為最大張力，即 .設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 ①當(dāng) 脫離下墜前，在拉力作用下上升， ②聯(lián)立①② 得 ③齊次方程通解非齊次方程③的特解所以③的通解代入初始條件：時(shí)，得；故有即為在任一時(shí)刻離上端的距離..運(yùn)動(dòng)的軌跡的切線方向上有: ①法線方向上有： ②對(duì)于①有（為運(yùn)動(dòng)路程，亦即半圓柱周圍弧長(zhǎng)）即又因?yàn)?即 ③設(shè)質(zhì)點(diǎn)剛離開圓柱面時(shí)速度，離開點(diǎn)與豎直方向夾角，對(duì)③式兩邊積分 ④剛離開圓柱面時(shí)即 ⑤聯(lián)立④⑤ 得即為剛離開圓柱面時(shí)與豎直方向夾角. .橢圓方程 ①?gòu)幕阶畹忘c(diǎn)， ②設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為則有： ③為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得； 又因?yàn)? 所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下. 解質(zhì)點(diǎn)作平面直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 ①②由曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力分析，我們可以得到： ③④因?yàn)榍€上每點(diǎn)的曲率 ⑤所以 ⑥ ⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以 ⑧由④即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 ⑨把⑧⑨代入① ，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： ①②③④⑤ ②由數(shù)學(xué)知識(shí)知 ③把①③④代入② ⑤當(dāng)時(shí)，得即當(dāng)，時(shí)，即故有：。因?yàn)棰偌此杂謫螖[擺角很小，有=上式即化為：②此即為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動(dòng)方程。設(shè)為固