理論力學第三版(周衍柏)習題答案(已修改)
2025-07-04 22:42 本頁面
【正文】 第一章 質(zhì)點力學第一章習題解答 :設開始計時的時刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運動設減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢. 解 由題可知,.設船經(jīng)過小時向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時經(jīng)過燈塔任意時刻船的坐標，船坐標，則船間距離的平方即對時間求導 船相距最近，即，所以即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離km 解 由題分析可知，點的坐標為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運用由此可得得得化簡整理可得此即為點的軌道方程.（2）要求點的速度，分別求導其中又因為對兩邊分別求導故有所以 解 ，繞點以勻角速度轉(zhuǎn)動，在上滑動，因此點有一個垂直桿的速度分量點速度又因為所以 點加速度 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對等式兩邊同時積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時，故即又因為所以對等式兩邊同時積分，可得： 解 由題可知質(zhì)點的位矢速度①沿垂直于位矢速度又因為 ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對③求導 對④求導 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 解 由題可知 ①②對①求導 ③對③求導 ④對②求導 ⑤對⑤求導 ⑥對于加速度，即 ⑦⑧對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦，⑧即得 ⑨⑩⑨+⑩得 ⑾把④⑥代入 ⑾得同理可得 以焦點為坐標原點，]則點坐標對兩式分別求導故 如圖所示的橢圓的極坐標表示法為對求導可得（利用）又因為 即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸） 質(zhì)點作平面運動，設速度表達式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以 又因為速率保持為常數(shù)，即為常數(shù)對等式兩邊求導所以即速度矢量與加速度矢量正交. ，則質(zhì)點切向加速度法向加速度，而且有關系式 ①又因為 ② 所以 ③ ④聯(lián)立①②③④ ⑤又把兩邊對時間求導得又因為 所以 ⑥把⑥代入⑤既可化為對等式兩邊積分所以 兩式相比得即 對等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律. ①②所以 ，聯(lián)立①②，有又因為所以 ，對等式兩邊分別積分，利用初始條件時， 證（）當，即空氣相對地面上靜止的，質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度， 指向點運動參考系的速度， 指運動參考系相對靜止參考系的速度.可知飛機相對地面參考系速度：=， .（）假定空氣速度向東，則當飛機向東飛行時速度飛行時間 當飛機向西飛行時速度飛行時間故來回飛行時間即 同理可證，當空氣速度向西時，來回飛行時間（c）所以來回飛行的總時間 同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為 。由題可知設風速,當飛機，故飛機沿此邊長6正方形飛行一周所需總時間 解 船停止時，干濕分界線在蓬前3， 故又因為，所以由圖可知所以=8 以一岸邊為軸，.所以水流速度又因為河流中心處水流速度為所以。當時，即 ①②得，兩邊積分 ③聯(lián)立②③，得 ④同理，當時，即 ⑤由④知，當時，代入⑤得有 ，所以船的軌跡船在對岸的了；靠攏地點，即時有 解 以為極點，.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 ①②②/①得 ，對兩積分：設為常數(shù)，即代入初始條件時，.設有得 解 質(zhì)點沿下滑，斜槽，易知，由正弦定理即 ① 又因為質(zhì)點沿光滑面下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.所以 ②有①② 欲使質(zhì)點到達點時間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對求導 極大值時，故有由于是斜面的夾角，即所以 解 ，上升時 下降時則兩個過程的運動方程為：上升 ①下降： ②對上升階段:即 對兩邊積分所以 ③即質(zhì)點到達的高度.對下降階段：即 ④由③=④可得 .水平方向不受外力，作勻速直線運動有 ①豎直方向作上拋運動，有 ②由①得 ③代入化簡可得因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角有關，即是的函數(shù)，求出極值點.即 所以，代入的表達式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離的最大值 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標比用直角坐標好.軌道的切線方向上有： ①軌道的法線方向上有： ②由于角是在減小的，故 ③由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使①②變成關于的等式由①即 ④把代入可得 ⑤用④⑤可得 即，兩邊積分得 ⑥代入初始條件時，即可得代入⑥式，得 ⑦又因為所以 ⑧把⑦代入⑧積分后可得 .電子受力則電子的運動微分方程為 ②③④由②，即⑤代入③整理可得 ⑥對于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時，得 時，得,故⑦同理，把⑦代入⑤可以解出把⑦代入⑤代入初條件時，） （a），時，則電子運動受力電子的運動微分方程 ①②③對②積分 ④對④再積分 又故（為一常數(shù)）此即為拋物線方程.當時則電子受力 則電子的運動微分方程為 ①②③，聯(lián)立①②解之，得于是 及電子軌道為半徑的圓. 解以豎直向下為正方向， 以①①②③處物體所處坐標分別為，則3個物體運動微分方程為： ①②③由②于③與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有，即 ④之間用倔強系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 ⑤由①⑤得 ⑥由②③④得 ⑦代入①，有 ⑧代入⑥，有 ⑨此即為簡諧振動的運動方程.角頻率所以周期解⑨得以初始時③為原點，時，.所以 ⑩代入①得聯(lián)立③④⑧⑩得，選向下為正方向，.，只有重力做功，機械能守恒： ①②聯(lián)立①②得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，為最大張力，即 .設繩的彈性系數(shù)為,則有 ①當 脫離下墜前，在拉力作用下上升， ②聯(lián)立①② 得 ③齊次方程通解非齊次方程③的特解所以③的通解代入初始條件：時，得；故有即為在任一時刻離上端的距離..運動的軌跡的切線方向上有: ①法線方向上有： ②對于①有（為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即又因為 即 ③設質(zhì)點剛離開圓柱面時速度，離開點與豎直方向夾角，對③式兩邊積分 ④剛離開圓柱面時即 ⑤聯(lián)立④⑤ 得即為剛離開圓柱面時與豎直方向夾角. .橢圓方程 ①從滑到最低點， ②設小球在最低點受到橢圓軌道對它的支持力為則有： ③為點的曲率半徑.的軌跡：得； 又因為 所以故根據(jù)作用力與反作用力的關系小球到達橢圓最低點對橢圓壓力為方向垂直軌道向下. 解質(zhì)點作平面直線運動，運動軌跡方程為 ①②由曲線運動質(zhì)點的受力分析，我們可以得到： ③④因為曲線上每點的曲率 ⑤所以 ⑥ ⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以 ⑧由④即，又有數(shù)學關系可知，即所以 ⑨把⑧⑨代入① ，質(zhì)點的運動方程為： ①②③④⑤ ②由數(shù)學知識知 ③把①③④代入② ⑤當時，得即當，時，即故有：。因為①即所以又單擺擺角很小，有=上式即化為：②此即為一個標準的有阻尼振動方程。設為固
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