【正文】 ① 用含 a的代數(shù)式表示 k。,∠ DOE=∠ AOC, ∴ △ OED≌ △ OCA, ∴ DE=AC=? ,∴ D(? ,3). 把 x=? 代入 y=x2? x3,得 y=(? )2? (? )3=3. ∴ 點 D落在拋物線上 . 2m33 3 33 33 3 33 33 33 3 3(3)① 如圖 ,當 x=2m時 ,y=2m23, ∴ OE=2m23. ∵ AG∥ y軸 ,∴ EG=AC=? BE, 12∴ FG=? OE. ∵ S△ DOE=S△ BGF,即 ? DE交直線 a于點 M,則該點即為所求 . 16.(2022溫州 ,23,12分 )如圖 ,拋物線 y=x2mx3(m0)交 y軸于點 C,CA⊥ y軸 ,交拋物線于點 B 在拋物線上 ,且在第一象限內(nèi) ,BE⊥ y軸 ,交 y軸于點 E,交 AO的延長線于點 D,BE=2AC. (1)用含 m的代數(shù)式表示 BE的長 。 (2)因?qū)嶋H需要 ,在離 AB為 3米的位置處用一根立柱 MN撐起繩子 (如圖 2),使左邊拋物線 F1的最 低點距 MN為 1米 ,離地面 ,求 MN的長 。 (2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移 m(m0)個單位 ,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ ABC的內(nèi)部 (不包括△ ABC的邊界 ),求 m的取值范圍 。 列函數(shù)關(guān)系式常用的方法有 :① 用勾股定理列函數(shù)關(guān)系式 。 (2)與課本中的例題比較 ,改變窗戶形狀后 ,窗戶透光面積的最大值有沒有變大 ?請通過計算說 明 . 解析 (1)由已知得 AD=? ,∴ S=? m2. (2)窗戶透光面積的最大值變大 .理由 : 設(shè) AB=x m,則 AD=3? x,∵ 3? x0,∴ 0x? . 設(shè)窗戶透光面積為 S m2,由已知得 S=AB (3)若存在實數(shù) t1和 t2(t1≠ t2),當 t=t1或 t2時 ,足球距離地面的高度都為 m(米 ),求 m的取值范圍 . 解析 (1)當 t=3時 ,h=20t5t2=20359=15, 所以 ,此時足球離地面的高度為 15米 . (2)由題意知 h=10,所以 20t5t2=10, 即 t24t+2=0,解得 t=2+? 或 t=2? . 所以 ,經(jīng)過 (2+? )或 (2? )秒時 ,足球距離地面的高度為 10米 . (3)因為 m≥ 0,由題意得 t1和 t2是方程 20t5t2=m的兩個不相等的實數(shù)根 ,所以 Δ=b24ac=20220m0, 所以 m20. 所以 m的取值范圍是 0≤ m20. 222211.(2022杭州 ,22,12分 )已知函數(shù) y1=ax2+bx,y2=ax+b(ab≠ 0).在同一平面直角坐標系中 : (1)若函數(shù) y1的圖象過點 (1,0),函數(shù) y2的圖象過點 (1,2),求 a,b的值 。 (2)王師傅在水池內(nèi)維修設(shè)備期間 ,噴水管意外噴水 ,為了不被淋濕 ,身高 必須在離水池中心多少米以內(nèi) ? (3)經(jīng)檢修評估 ,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進 :在噴出水柱的形狀不變的前提下 ,把 水池的直徑擴大到 32米 ,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物 (高度不變 )處匯 合 ,請?zhí)骄繑U建改造后水柱的最大高度 . 解析 (1)由題意可知拋物線的頂點為 (3,5),設(shè) y=a(x3)2+5, 將 (8,0)代入得 a=? , ∴ y=? (x3)2+5? (0x8). (2)當 y= ,=? (x3)2+5, 可得 x1=7,x2=1(舍去 ), 所以王師傅必須站在離水池中心 7米以內(nèi) . (3)由 y=? (x3)2+5可得原拋物線與 y軸的交點為 ? , ∵ 裝飾物高度不變 ,∴ 新拋物線也過點 ? . ∵ 噴出水柱的形狀不變 ,∴ a=? . ∵ 直徑擴大到 32米 ,∴ 新拋物線過點 (16,0). 設(shè)新拋物線解析式為 y新 =? x2+bx+c, 151521 6 165 5 5y x x???? ? ?????或1515 160,5??????160,5??????1515將 ? 和 (16,0)代入 ,解得 b=3,c=? , ∴ y新 =? x2+3x+? =? ? +? . 當 x=? 時 ,y新 =? . 答 :擴建改造后噴水池水柱的最大高度為 ? (或 )米 . 160,5?????? 16515 165 152152x???????23920152 28920289209.(2022溫州 ,22,10分 )如圖 ,過拋物線 y=? x22x上一點 A作 x軸的平行線 ,交拋物線于另一點 B,交 y 軸于點 A的橫坐標為 2. (1)求拋物線的對稱軸和點 B的坐標 。 (2)根據(jù) (1)中數(shù)據(jù)表示出每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品獲得的利潤 ,根據(jù)題意列方程即可 。 (2)若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過 A(1,4),B(0,1),C(1,1)三個點中的其中兩個點 ,求該二次函數(shù)的表達 式 。 ② 延長 OE交 FM于點 G,取 CF中點 P,連接 PG,△ FPG,四邊形 DEGP,四邊形 OCDE的面積分別記 為 S1,S2,S3,則 S1∶ S2∶ S3= . ? 解析 (1)令 y=0,則 x2+6x=0,解得 x1=0,x2=6, ∴ A(6,0),∴ 對稱軸是直線 x=3, ∴ M(3,9). (2)∵ OE∥ CF,OC∥ EF,C(2,0), ∴ EF=OC=2,∴ BC=1.∴ 點 F的橫坐標為 5. ∵ 點 F落在拋物線 y=x2+6x上 , ∴ F(5,5),BE=5. ∵ ? =? =? ,∴ DE=2BD, ∴ BE=3BD,∴ BD=? . (3)① 當 BD=1時 ,BE=3, ∴ F(5,3). 設(shè) MF的解析式為 y=kx+b, 將 M(3,9),F(5,3)代入 ,得 ? 解得 ? BDDECBOC12539 3 ,3 5 ,kbkb????? 3,1 8 ,kb ???? ??∴ y=3x+18.∵ 當 x=6時 ,y=36+18=0, ∴ 點 A落在直線 MF上 . ② 3∶ 4∶ 8. 評析 本題主要考查二次函數(shù)與幾何問題的綜合 ,主要涉及二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐 標 ,點是否在拋物線上 ,函數(shù)與方程綜合等知識點 . 20.(2022紹興 ,22,12分 )如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為 1,則此二次函數(shù)可表示為 y=x2+px+q,我們 稱 [p,q]為此函數(shù)的特征數(shù) ,如函數(shù) y=x2+2x+3的特征數(shù)是 [2,3]. (1)若一個函數(shù)的特征數(shù)為 [2,1],求此函數(shù)圖象的頂點坐標 。 (2)若一次函數(shù) y2=ax+b的圖象與 y1的圖象經(jīng)過 x軸上同一點 ,探究實數(shù) a,b滿足的關(guān)系式 。 (2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點 ,且在對稱軸的右側(cè) ,連接 OP, P的橫坐標為 m,△ OBP 的面積為 S,記 K=? ,求 K關(guān)于 m的函數(shù)表達式及 K的范圍 . ? Sm解析 (1)將 x=2代入 y=2x,得 y=4, ∴ M(2,4), 由題意得 ? ∴ ? (2)如圖 ,過點 P作 PH⊥ x軸于點 H, ? ∵ 點 P的橫坐標為 m,拋物線的解析式為 y=x2+4x, ∴ PH=m2+4m. 2,24 2 4 ,baab? ????????1, ???? ??∵ B(2,0),∴ OB=2, ∵ S=? OB+DE=? +? ,故④錯 .故選 C. 582 58 2關(guān)鍵提示 此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì) ,確定最短周長的問題中找到 符合條件的點 G,F是關(guān)鍵 . 12.(2022嘉興 ,10,4分 )當 2≤ x≤ 1時 ,二次函數(shù) y=(xm)2+m2+1可取到的最大值為 4,則實數(shù) m的值 為 ? ( ) ? B.? 或 ? ? ? 或 ? 743 33 374答案 C 由已知得 ,二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x=m, ① 若 m2,則當 x=2時 ,y取最大值 , 則 (2m)2+m2+1=4,解得 m=? ,與 m2矛盾 。(2,3),∴ D39。(2,3), 連接 D39。② 若 a=1,則 b=4。y最小 =(m1)2+5=2m,即 m1=2,m2=2(不合題意 ,舍去 ),∴ m+n=(2)+ =? ,故選 D. 12關(guān)鍵提示 本題考查了二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及分類討論的思想 .按照題意 ,得出 m,n的取值 范圍 ,并按 n的取值分類討論是解決本題的關(guān)鍵 . 9.(2022溫州 ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。當 Δ0時 ,圖象與 x軸沒有 交點 .二次函數(shù)的增減性要利用圖象開口方向和對稱軸的位置來確定 . 6.(2022紹興 ,9,4分 )拋物線 y=x2+bx+c(其中 b,c是常數(shù) )過點 A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段 y=0 (1≤ x≤ 3)有交點 ,則 c的值不可能是 ? ( ) 答案 A ∵ 拋物線過點 A(2,6),∴ 4+2b+c=6,b=? .∵ 拋物線的對稱軸與線段 y=0(1≤ x≤ 3) 有交點 ,∴ 1≤ ? ≤ 3,6≤ b≤ 2,即 6≤ ? ≤ 2,解得 6≤ c≤ 14,則 c的值不可能是 4,故選 A. 2 2 c?21b? 2 2 c?7.(2022湖州 ,9,3分 )定義 :若點 P(a,b)在函數(shù) y=? 的圖象上 ,將以 a為二次項系數(shù) ,b為一次項系數(shù) 構(gòu)造的二次函數(shù) y=ax2+bx稱為函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” .例如 :點 ? 在函數(shù) y=? 的圖象 上 ,則函數(shù) y=2x2+? x稱為函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” .現(xiàn)給出以下兩個命題 : (1)存在函數(shù) y=? 的一個“派生函數(shù)” ,其圖象的對稱軸在 y軸的右側(cè) . (2)函數(shù) y=? 的所有“派生函數(shù)”的圖象都經(jīng)過同一點 . 下列判斷正確的是 ? ( ) (1)與命題 (2)都是真命題 (1)與命題 (2)都是假命題 (1)是假命題 ,命題 (2)是真命題 (1)是真命題 ,命題 (2)是假命題 1x1x 12,2?????? 1x12 1x1x1x答案 C 若點 P(a,b)在 y=? 的圖象上 ,則 ab=10,? 0,又二次函數(shù) y=ax2+bx的圖象的對稱軸 為 x=? ,所以 y=? 的“派生函數(shù)”的圖象的對稱軸只能在 y軸左側(cè) ,故命題 (1)是假命題 。選項 B,當 a=2時 ,y=2x2+4x1,Δ=424(2)(1)=80,即函數(shù)圖象與 x軸有兩個交點 ,錯誤 。 ,得 y=(x3)2,圖象經(jīng)過 A點 ,故 B不符合題意 。 ② 如圖 2,若 BD=? AB,過點 B,D的拋物線 L2的頂點 M在 x軸上 ,求該拋物線的函數(shù)表達式 。 二次函數(shù) 中考數(shù)學 (浙江專用 ) 1.(2022杭州 ,9,3分 )四位同學在研究函數(shù) y=x2+bx+c(b,c是常數(shù) ),甲發(fā)現(xiàn)當 x=1時 ,函數(shù)有最小值 。 乙發(fā)現(xiàn) 1是方程 x2+bx+c=0的一個根 。 (2)如圖 3,若 BD=AB,過三點 O,B,D的拋物線 L3的頂點為 P,對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為 a3,過點 P作 PE∥ x軸交拋物線 L于 E,F兩點 ,求 ? 的值 ,并直接寫出 ? 的值 . ? 123aa ABEF解析 (1)① 對于二次函數(shù) y=x2, 當 y=2時 ,2=x2,解得 x1=? ,x2=? , ∴ AB=2? . ∵ 平移得到的拋物線 L1經(jīng)過點 B,∴ BC=AB=2? , ∴ AC=4? . ② 如圖 ,記拋物線 L2的對稱軸與 AD相交于點 N, ? 根據(jù)拋物線的軸對稱性 ,得 BN=? DB=? , ∴ OM=? . 設(shè)拋物線 L2的函數(shù)表達式為 y=a2? . 2 222212 223222322x???????由①及已知得 ,點 B的坐標為 (? ,2), ∴ 2=a2? ,解得 a2=4. ∴ 拋物線 L2的函數(shù)表達式為 y=4? , 即 y=4x212? x+18. (2)如圖 ,記拋物線 L3與 x軸交于點 G,其對稱軸與 x軸交于點 Q,過點 B作 BK⊥ x軸于點 K. ? 設(shè) OK=t,則 BD=AB=2t,點 B的坐標為 (t,at2), 根據(jù)拋物線的軸對稱性 ,得 OQ=2t,OG=2OQ=4t. 則拋物線 L3的函數(shù)表達式為 y=a3x(x4t), ∵ 該拋物線過點 B(t,at2), 22322 2???????2322x???????2∴ at2=a3t(t4t), 又 ∵ t≠ 0,∴ ? =? . ? =? . 3aa 13ABEF 3211.(2022紹興 ,21,10分 )如果拋物線 y=ax2+bx+c過定點 M(1,1),則稱此拋物線為定點拋