線性系統(tǒng)的根軌跡法-wenkub.com
2025-05-11 02:12 本頁面
【正文】 [k,p]=rlocfind(num,den)。 rlocus(num,den)。 開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降冪排列 開環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降冪排列 求零極點函數(shù) 打印標(biāo)題 解：打開 Matlab，創(chuàng)建一個 m文件，輸入下列程序片段： 二、繪制常規(guī)根軌跡 例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： ， 21 2( 2 5 1 )( ) ( ) 22K s sG s H s ss ??? ??試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 pzmap(num,den)。 七、主導(dǎo)極點 在 s平面上，最靠近虛軸而附近又無閉環(huán)零點的一些閉環(huán)極點，對系統(tǒng)性能影響最大，稱為主導(dǎo)極點，凡比主導(dǎo)極點的實部大 6倍以上的其他閉環(huán)零、極點，其影響均可忽略。 21 1// zzws ??d五、實數(shù)零、極點影響 零點減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時間提前，超調(diào)量增大；極點增加系統(tǒng)阻尼，使峰值時間滯后，超調(diào)量減小。 正反饋 (0度 )根軌跡圖 將例 1給出的開環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負根軌跡圖如下： () ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s?? ??負反饋 (180度 )根軌跡圖 系統(tǒng)性能的分析 一、穩(wěn)定性 如果閉環(huán)極點全部位于 s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定只與閉環(huán)極點位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點位置無關(guān)。 例 1：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： () ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s?? ??試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 (1)增加一個 實數(shù) 零點 * ( 2 )() ( 1 )K KsGs ss ?? ?*() ( 1 )K KGs ss? ? 增加的零點使根軌跡左偏，對系統(tǒng)穩(wěn)定有利。 等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 211( 1 )( ) ( )( 1 )aT s sG s H ss s K????2 ( 1 )1 1 1 1( ) ( )2 4 2 4aT s ss K s K??? ? ? ? ? ?0aT?2K ?1K ?12 /K ?2K ?1K ?12 /K ?1?0aT ??aT ??0aT ?12 /?KssssTsG a????)1()1()( 210swj?K21( 1 )()( 1 ) 0 . 0 9 8aT s sGsss????參數(shù)根軌跡簇 二、附加開環(huán)零、極點的作用 根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，因此可以通過增加開環(huán)零、極點來改造根軌跡，從而實現(xiàn)改善系統(tǒng)的目的。 繪制參數(shù)根軌跡的步驟 2( 1)()ss s a?? )(sR )(sC[解 ]： 2 2 2 0s as s? ? ? ?例 1： 繪制如下系統(tǒng)以 a為參數(shù)的根軌跡。 閉環(huán)特征方程： 變換 當(dāng)系統(tǒng)有兩個參數(shù)變化時，所繪出的根軌跡稱謂 根軌跡簇 。 特征方程： 8 6 4 2 0 2864202468概略根軌跡圖 開環(huán)極點、零點分布及其相應(yīng)的根軌跡 二 、 閉環(huán)極點的確定 上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。 根軌跡作圖步驟 )22)(3()()( 2*????ssssKsHsG例 9[例 44]系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。 表明： 當(dāng) K*變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動 (變大 )，則另一些極點必然向左移動 (變小 )。 解： 方法一 3 2 *6 5 0j j Kw w w? ? ? ? ?2*36050Kwww? ? ? ??? ?? ? ???*() ( 1 ) ( 5 )k KGs s s s? ??例 8. ，試求根軌跡與虛軸的交點。 117 176。 121 176。 37 176。 ： 無分離點。 取 k=0(考慮到周期性 )： θp1= 176。 解： tan? 1=1 ? 1=45176。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnp z p p pjjjikkq ? ? q???? ? ? ? ? ? ???終止 (入射 )角 ? zi： 終止于 開環(huán)復(fù)數(shù)零點 的根軌跡在終點處的切線與 正實軸 的夾角。 *1 ( ) 1 0( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ? ? ???閉環(huán)特征方程為： * 3 2( 1 ) ( 5 ) ( 6 5 )K s s s s s s? ? ? ? ? ? ? ?*2( 3 1 2 5 ) 0dK ssds ? ? ? ? ???(舍去 ) (1)極值法 因 [ 1, 0]內(nèi)必有分離點，所以選 s1=。 32* 561s s sKs?????* 3 2 3 22( 5 6 ) ( 1 ) ( 5 6 ) ( 1 )( 1 )d K s s s s s s s sd s s??? ? ? ? ? ? ????解： 3222 8 1 0 6( 1 )s s ss? ? ????C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???32( ) 2 8 1 0 6P s s s s? ? ? ? ?因 [ 3, 2]內(nèi)必有分離點，所以選 s1=。閉環(huán)特征方程有重根。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和夾角。 s s3 ：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。 z z2的向量的相角之和 q 3+q4=0176。 ?根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。 根軌跡繪制的基本法則 一、繪制根軌跡的基本法則 法則 1. 根軌跡的起點和終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，若 nm，則有 nm條根軌跡終止于無窮遠處。 繪制根軌跡方法： ?：任選 s1點看是否滿足相角條件； ? (如下節(jié)講述 )手工繪制； ?。 ?(2)閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞數(shù)的極點所組成。 jw 2 1 1 2 1 2 s . . . . . . . . . ?由坐標(biāo)原點處的極點數(shù)確定系統(tǒng)類型； ?若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 根軌跡法的基本概念 根軌跡繪制的基本法則 廣義根軌跡 系統(tǒng)性能的分析 利用 MATLAB繪制根軌跡圖 (補充 ) 根軌跡法的基本概念 一、根軌跡定義 開環(huán)傳遞函數(shù)的某個參數(shù)由 0~∞時，閉環(huán)特征根在 s平面上移動的軌跡。 K=0→ ∞時，根軌跡均在時 s平面的左半部分 ， 系統(tǒng)始終穩(wěn)定 ； (1)0K， 兩個負實根， 過阻尼系統(tǒng) ，階躍響應(yīng)為非周期過程； (2)K=，相同 負實根， 臨界阻尼系統(tǒng) ，階躍響應(yīng)仍為非周期過程； (4)K， 一對共軛復(fù)根， 欠阻尼系統(tǒng) ，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。 對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。 [一些約定 ]： 在根軌跡圖中， “ ”表示 開環(huán)極點 ， “ ○ ” 表
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