小波分析全章節(jié)講解-wenkub.com
2025-04-26 06:42 本頁面
【正文】 其中， (a)表示原始的 Lena圖像，(b)表示閾值 5的重構(gòu)圖像， (c)表示閾值 10的重構(gòu)圖像，而 (d)則表示閾值20的重構(gòu)圖像。 小波重構(gòu) ? 頻域構(gòu)造法 ? 時(shí)域構(gòu)造法 )()()()()()( twwGwHwt ?? ???????)()( tt ghkk?????小波變換的應(yīng)用 一、小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用 1 基本理論 小波是指函數(shù)空間 中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號(hào) 這里， 表示非零實(shí)數(shù)全體． 對(duì)于任意的函數(shù)或者信號(hào) f( )，其小波變換定義為 因此，對(duì)任意的函數(shù) f( )，它的小波變換是一個(gè)二元函數(shù)． 變換實(shí)例 小波圖像分解與重構(gòu)示意圖 利用小波變換，用戶可以按照應(yīng)用要求獲得不同分辨率的圖像。 )(2 RL濾波器組法 函數(shù)空間法 小波分解樹 雙通道濾波過程 離散小波變換可以用來分析或者叫做分解信號(hào)，這個(gè)過程叫做分解或者叫做分析。相應(yīng)地， 稱為母小波 的對(duì)偶母小波。 （ 2）是否任何信號(hào)都可以分解表示為離散小波基的線性組合 ，而且其中的組合系數(shù) 如何求取。上式稱為小波框架條件，它可以表示為等價(jià)的頻域形式，即 關(guān)于小波框架，需要說明幾點(diǎn)： （ 1）由小波框架的定義可以知道，并非任何函數(shù)族都能構(gòu)成一個(gè)小波框架。 每當(dāng) m增加 1，尺度 增加 1倍，對(duì)應(yīng)的頻帶減小 1/2，根據(jù) Nyquist采樣定理，此時(shí)的采樣頻率可以降低 1/2而不丟失任何信息，對(duì)應(yīng)時(shí)域就是采樣間隔可以大 1倍。 其中， 為大于 0的實(shí)常數(shù)， 為整數(shù)。 ? ?? ?, 0,a aRt? ?? ????ft??ft? ? ? ?2f t L R??? ? ? ? ? ? ? ?, 1,fa R tW T a f t t f t d taa? ?? ? ? ? ????? ???????ft 假設(shè)信號(hào)矢量 和 為能量有限信號(hào)，即 ，其連續(xù)小波變換（ CWT）分別表示為 和 ，令 ， 為任意常數(shù)。 ,1( ) , 0 ,att a Raa??? ? ????? ? ?????, ()a t?? a?, ()a t?? 系數(shù) 的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即 或 1a? ? ? ? 22 ,aRRE t d t t d t???????? ? ? ?,att????1a??2a?除了 Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函數(shù)是用導(dǎo)數(shù) /積分或微分方程 /積分方程來定義，有的小波用其傅立葉變換定義，有的小波甚至沒有解析表達(dá)式，而只是一些數(shù)字解，很多小波為復(fù)函數(shù)，所以不太直觀。 2( ) ( )t L R? ?2()d?? ??????? ???()t?（ ） 式（ ）稱為小波的 容許條件 ，它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。 ∞時(shí)， 衰減到0，由 ，可看出 的圖像與X軸所夾的上半平面中的面積和下半平面積是相等的也就是說 t變動(dòng)時(shí)候，它是上下波動(dòng)的，這就是小波的來源。但是，它有很大的 局限性 ：當(dāng)基本窗函數(shù)一旦取定，窗口的時(shí)窗寬度和頻窗寬度就固定了，不會(huì)隨時(shí)域和頻域的位移而變化。 從這個(gè)意義上講， Gabor變換表征了信號(hào)在以 為中心、左右各為 的局部時(shí)間內(nèi)的頻率特性。故， 實(shí)際上分析了 附近的頻率特性。 Gabor在最初的處理中采用的時(shí)Gauss窗 作為基本窗函數(shù)，通過在時(shí)間軸上平移得到一組窗 函數(shù) 。頻窗是由低通濾波器 在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器 ，其中 為頻率位移。 （ 4）窗的過渡帶為“陡”的階躍跳變， 因此，沒有平滑的衰減過渡帶和窗拖尾。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如 Gauss窗、Hanning窗、 Blackman窗等。在時(shí)域內(nèi)，時(shí)間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。信號(hào)從一維時(shí)域 表示分解為時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示 ，用以描述信號(hào)在不同時(shí)刻的頻率分布情況。 對(duì)于這種信號(hào)的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部 性能的時(shí)域和頻域的二維 聯(lián)合表示， 或者說必須提取特定時(shí)間段和頻率段內(nèi)的信號(hào) 特性。它將時(shí)間域內(nèi)復(fù)雜信號(hào)的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡單形狀的信號(hào)之和。 ? ??? ??? dtetgtfwF j wtg )()(),( ??雖然窗口 Fourier變換能部分解決 Fourier變換時(shí)空定位問題，但由于窗口的大小是固定的，對(duì)頻率波動(dòng)不大的平穩(wěn)信號(hào)還可以，但對(duì)音頻、圖像等突變定信號(hào)就成問題了。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時(shí)變信號(hào)的分析，但是可以在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號(hào)認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對(duì)它們可以采用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法，如頻譜分析和功率譜分析。 故 都可以展開成為 并且有 Parseval等式，即 X {}ne{}ne X0, ( )1,mnmne e m nmn???? ?? ? ? ???xX??1, nnnx x e e???? ? ??221, nnx x e???? ? ??（ 5）雙正交基 對(duì)于不滿足規(guī)范正交條件的基底 來說，如果存在另一組對(duì)偶基底 使得 對(duì)應(yīng)的傅里葉展開式為 規(guī)范正交性存在于原基底與對(duì)偶基底之間， 展開式也相應(yīng)的由原基底和對(duì)偶基底構(gòu)成， 這種基稱為 雙正交基 ，與互為對(duì)偶基底。 ( ) [ ] jnnX x n e????? ? ?? ? ??1[ ] ( )2jnx n X e d?????? ? ?? 21100[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN j n knkNNnnX k x n e x n W k N??? ???? ? ? ???2110011[ ] [ ] [ ] , 0 , 1 , . . . , 1NN
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