【正文】 2. 已知非線性系統(tǒng)（1） （2） 編制相應(yīng)的程序，用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。說明穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線與不穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線的區(qū)別。（2）任意給定對稱正定矩陣Q，用函數(shù)lyap( )求解Lyaponov方程，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。學(xué)會使用MATLAB確定線性定常系統(tǒng)和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0]。1 0 3。 C=[0 1 2]。0 1 3]。Ck=rot90(Ck1,2)。Bk1=T*B。n1=rank(obsv(Ac(ic,ic),Cc(ic)))。 [m2,n2]=size(To2)。[Ao1,Bo1,Co1,To1,Ko1]=obsvf(Ac(ic,ic),Bc(ic),Cc(ic))。該函數(shù)的程序如下function [Ak, Bk, Ck ,Tk]=kalmdec(A,B,C) %按能控能觀測性分解[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)。0]。1 0 3。 Bo=To*B。 To=[t1。 else t1=t1。if m~=n t1=V(1,:)。k表示能觀測的狀態(tài)變量的數(shù)目。 [Ao Bo Co To Ko]=obsvf(A,B,C)另一種按能觀測性分解的形式為 （334）將由ctrbf( )函數(shù)得到的各系數(shù)矩陣均利用MATLAB提供的函數(shù)rot90（ ）旋轉(zhuǎn)就可得這種形式。 B=[1。為相應(yīng)的線性變換矩陣，返回系統(tǒng)能控狀態(tài)變量的數(shù)目。0]。1 0 3。 Bc=inv(Tc)*B。 Tc=[t1,p39。 else t1=t1。n=size(A,1)。為相應(yīng)的線性變換矩陣。 C=[0 1 2]。0 1 3]。MATLAB提供的函數(shù)ctrbf( ), 可將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為如下形式: （331）該函數(shù)的調(diào)用格式為：其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 Vo=obsv(A,C)。0 2 0。能觀測性矩陣可以用MATLAB提供的函數(shù)obsv( )自動產(chǎn)生，其調(diào)用格式為: 其中A, C分別為系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣，為能觀測性矩陣。Uy=[C*Uc D]。1]。sctrb(A,B) 返回system is not pletely state controllable2）線性定常系統(tǒng)輸出能控性的判斷線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)輸出能控的充分必要條件是：矩陣的秩為m，其中r為系統(tǒng)的輸入個數(shù)，m為輸出個數(shù)。0 1 3]。)else disp(39。nc=rank(Uc)。1 1]。0 2 0。三、附錄1. 能控性1）線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性的判斷n階線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣的秩為n。這一曲線與（1）中的輸出曲線是否一致？（4）按能控性能觀測性分解給定的狀態(tài)空間模型并記錄分解所得的結(jié)果，然后再將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。（2）按能控性分解給定的狀態(tài)空間模型并記錄所得的結(jié)果，然后再將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。C=[ 0]。]。Gss=ss(G)。 rank(Vo)ans = 13. b 最小實現(xiàn) z=[1]。Gcanon=canon(G) a = x1 x2 x1 4 0 x2 0 1 b = u1 x1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 d = u1 y1 0 Continuoustime model. A=[4 0。1]。Uc=ctrb(A,B)。Gcanon=canon(G) a = x1 x2 x1 4 0 x2 0 1 b = u1 x1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 d = u1 y1 0 Continuoustime model. A=[4 0。1]。Uy=[C*Uc D]。1]。 Vo=obsv(A,C)。Uc=ctrb(A,B)。當(dāng)輸入改變時, 每個狀態(tài)變量曲線是否隨著改變？能否根據(jù)這些曲線判斷系統(tǒng)以及各狀態(tài)變量的能控性？不能控和能控狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線有何不同？（5）根據(jù)（2）和（4）所得曲線能否判斷系統(tǒng)狀態(tài)以及各狀態(tài)變量的能觀測性？實驗數(shù)據(jù) (1)能控性： A=[3 4。觀察和記錄這些曲線。二、實驗內(nèi)容1. 已知系統(tǒng) （1）判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性和能觀測性，以及系統(tǒng)輸出的能控性。2. 掌握系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。dstep(G,H,C,D,u,n)。D=0。 1]。,39。該程序如下%ex252figure(39。 1]。,8)在命令窗中運(yùn)行該程序得到狀態(tài)和輸出響應(yīng)解析解和數(shù)值解，以及相應(yīng)的曲線如圖5。,8)gtext(39。,8)gtext(39。)gtext(39。end %計算狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解plot(0:60,xt,39。,tt)。 %計算狀態(tài)響應(yīng)的解析解y=C*x。G=inv(s*eye(size(A))A)。B=[2。w39。pos39。k39。[y,t,x]=lsim(G,u,t)。D=0。5 6]。39。 x=xo+xu。39。[yu,t,xu]=lsim(G,u,t)。color39。 圖1狀態(tài)響應(yīng) 圖2 輸出響應(yīng) 在命令窗中繼續(xù)運(yùn)行下列命令，計算系統(tǒng)在輸入作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。:39。 x0=[1。 C=[1 1]。 A=[0 1。 函數(shù)initial( ) 可求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 函數(shù)lsim( ) 可直接求取線性系統(tǒng)在任意輸入信號作用下的響應(yīng)。216。y為系統(tǒng)輸出。216。Xt1=phet*X0。syms s。再對其進(jìn)行拉氏逆變換，即在命令窗中輸入語句phet= ilaplace(G) 返回phet =[ exp(2*t)+2*exp(t), exp(t)exp(2*t)][ 2*exp(t)+2*exp(2*t), 2*exp(2*t)exp(t)]2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 且初始狀態(tài)為，那么狀態(tài)方程解的拉氏變換式為 （322）其解為 （323）其中零輸入響應(yīng)為 或 （324）零狀態(tài)響應(yīng)為 或 （325）系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為 （326）例22 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試求初始狀態(tài)為，輸入分別為和 時狀態(tài)方程的解。 phet=expm(A*t) 返回phet =[ exp(2*t)+2*exp(t), exp(t)exp(2*t)][ 2*exp(t)+2*exp(2*t), 2*exp(2*t)exp(t)]拉氏反變換法：在命令窗中運(yùn)行下列命令 A=[0 1。例21 求系統(tǒng)矩陣A對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（3）當(dāng)輸入為時，用函數(shù)initial( )和lsim( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。用函數(shù)lsim( )計算狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線、輸出響應(yīng)曲線和狀態(tài)軌跡。（3）令初始狀態(tài)為，輸入為。b) 用函數(shù)initial( )計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。(2) 令初始狀態(tài)為零，輸入為。b) 用函數(shù)initial( )計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。Xt2=ilaplace(G*B*(0))Xt1 = [ 2*exp(3*t)+3*exp(2*t)][ 6*exp(2*t)+6*exp(3*t)]Xt2 = [ 0][ 0]有圖 y=initial(G,x0)y = 2. 已知系統(tǒng) （1）令初始狀態(tài)為，輸入為零。phet=ilaplace(G)。 phet=expm(A*t) phet = [ cos(2*t), 1/2*sin(2*t)][ 2*sin(2*t), cos(2*t)](1)bphet = [ 2*t*exp(t)+exp(2*t), 2*exp(2*t)+2*exp(t)+3*t*exp(t), exp(2*t)exp(t)t*exp(t)][ 2*exp(2*t)2*exp(t)2*t*exp(t), 5*exp(t)+3*t*exp(t)4*exp(2*t), 2*exp(2*t)2*exp(t)t*exp(t)][ 2*t*exp(t)+4*exp(2*t)4*exp(t), 8*exp(2*t)+8*exp(t)+3*t*exp(t), 3*exp(t)+4*exp(2*t)t*exp(t)](2)1a A=[0 1。學(xué)會用MATLAB求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)曲線。Gc=ctrlss(A,B,C,D)返回a = x1 x2 x3 x1 1 x2 0 1 x3 2 1 2b = u1 x1 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 20 4 4d = u1 y1 0Continuoustime model.試編將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的函數(shù)。2 2 1]。Gc=ss(Ac,Bc,Cc,D)。for i=1:n T(i,:)=p1*A^(i1)。該函數(shù)程序如下：function Gc=ctrlss(A,B,C,D) %將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型n=le