【正文】 矩陣可逆的充分必要條件 61 322 1 1 23( 1 )2 2 0 2 2 00 1 3 0 1 00 0 3 0 0 32 0 0 1 0 0( 2 ) / 2 , ( 1 )0 1 0 0 1 0/30 0 3 0 0 1rrAr r r rr?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?例如： 62 定理 設(shè) A是一個 n階方陣．則下述條件等價： (i) A是可逆的； (ii) 齊次線性方程組 AX=O僅有零解； (iii) A行等價于單位矩陣 I。 初等矩陣 初等變換是線性代數(shù)中最重要的工具之一，而初等矩陣是初等變換的矩陣表現(xiàn)．對應(yīng)著三種初等變換，存在三種初等矩陣 ． 45 I型初等矩陣 : 交換單位矩陣第 i行與第 j行相互位置 得到的矩陣稱為 I型初等矩陣 . 記為 P(i, j)， 即 ( , )101101iP i jj???????????????????????46 Ⅱ 型初等矩陣：單位矩陣的第 i 行乘以一個非零 數(shù) c 得到的矩陣稱為 Ⅱ 型初等矩陣 , 記為 P(i(c)), 即 ( ( ) )11P i c c i?????????????????47 Ⅲ 型初等矩陣 單位矩陣的第 i 行乘以數(shù) c 加到第 j 行后得到的矩陣稱為 III型初等矩陣 , 記為 P(i(c), j ), 即 ( ( ) , )1111icjP i c j???????????????????????48 定理 1) 用 P(i, j)左乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初 等行變換 ri ? rj。 即使有定義 , 也可能不同型 (例)；即使同型，也可能不相等 (例 ). 從而，矩陣乘法 不滿足交換律 ，即一般地有 ， AB≠BA 16 ? ?, , , ,1212 nnbba a ab??????????????令 ?? 則 ? ?, , ,121 2 1 1 2 2 nnnnbba a a a b a b a bb??????? ? ? ? ????????? 補充例子： 17 而 ? ?, , ,1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 21212nnnn n n n nb b a b a b ab b a b a b aa a ab b a b a b a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 18 定義 設(shè) A=[aij]m?n , 則 A的轉(zhuǎn)置 B =[bji]n?m 是一個 n?m矩陣 , 并且 bji=aij i=1, …, m。 初等矩陣 167。1 167。 矩陣可逆的充分必要條件 第二章 矩陣代數(shù) 2 167。 j=1, …, n 一般地 , 記 A的轉(zhuǎn)置矩陣為 AT . 定義 如果 n階方陣 A=[aij]n?n滿足 AT =A, 則稱 A為對稱矩陣 . 從而 , 一個方陣 A=[aij]n?n對稱矩陣 當(dāng)且僅當(dāng) aij =aji i, j=1, …, n 19 例 分別計算下列矩陣的轉(zhuǎn)置 . 121 ) 0 354A????????????3 0 22 ) 0 3 52 5 7A??????????????233 ) 40A?????????????20 1 4 . ? ? TT kAkA ? 4) ? ? TTAA ? 5) () T T TA B A B? ? ? 定理 設(shè) A、 B、 C是任意矩陣 , k為任意的數(shù) . 如果下述的運算均有定義 , 那么以下運算規(guī)律成立 . 1) ( AB)C=A(BC) (乘法結(jié)合律 ) 2) A(B+C)=AB+AC (乘法對加法的左分配律 ) (A+B) C=AC+BC (乘法對加法的右分配律 ) 3) k( AB)=(kA)B 6) ? ? T TkA kA? 7) ? ? T TTAB B A? 21 由于乘法滿足結(jié)合律，括號可省略，例如： (AB)C=A(BC)=ABC 特別地，如 A是一個 n階方陣，則可定義的正指數(shù)方冪 : kkA AA A? ， k 為正整數(shù) 亦即 , ? ?,lk l k l k k lA A A A A?? ? ? k ， l 為正整數(shù) . 22 則有 AB=AC=O. 但顯然有 B ? C , A ? O, B ? O, C ? O. 例 ： 1 0 0200300A???????????，0 0 02 3 1205B????????????， 0 0 03 1 52 0 2C????????????? 23 矩陣相乘不同于數(shù)的乘積的三點： 1)無交換律 :AB?BA. 2)無消去律 :由 AM=AN 一般不能推出 : M=N. 3)由 AB=O一般不能推出 : A=O, 或 B=O. 24 分塊矩陣 對一個給定的矩陣，在行間作從左至右若干水平線，在列間作若干從上到下垂直線，從而把矩陣劃分成若干級數(shù)較小的矩陣（稱為的 子塊） ，稱此分法為對矩陣的一個 分塊 ． 25 例如： |||||AAAAA??????????????????? ???????????11 1221 221 2 0 3 40 1 1 2 13 2 0 3 12 1 2 0 2— — — — — 111 2 00 1 1A?????????， 123421A????????， 213 2 02 1 2A????????， 223102A????????? 26 | | | || | | |( , , , , )| | | || | | |A ? ? ? ? ???????????? ?????1 2 3 4 51 2 0 3 40 1 1 2 13 2 0 3 12 1 2 0 2．A?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????12341 2 0 3 40 1 2 2 13 2 0 3 12 1 2 0 2＝27 兩個行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣，如果用完全相