論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用-wenkub.com
2025-01-10 18:17 本頁面
【正文】 在學習中,老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、豐富淵博的知識、敏銳的學術(shù)思維、精益求精的工作態(tài)度以及侮人不倦的師者風范是我終生學習的楷模，導(dǎo)師的高深精湛的造詣與嚴謹求實的治學精神，將永遠激勵著我。當介紹完冪零矩陣的性質(zhì)理論之后，我們必然要介紹一下這些理論的應(yīng)用，例如在矩陣求逆中的應(yīng)用等，這些應(yīng)用體現(xiàn)了冪零矩陣在一些應(yīng)用領(lǐng)域的優(yōu)越性。證明：由 于，由為冪零矩陣知，且。由性質(zhì)2知, 是冪零矩陣。可得與相似。解： 其中 有，由性質(zhì)14得 冪零矩陣在其他方面的應(yīng)用例 ，但，證明與相似。4 冪零矩陣的應(yīng)用 可求冪零矩陣與單位矩陣和的矩陣的逆，求。，則一定不可逆但有。 由引理7知,即為冪零矩陣。令為的最小多項式，則有, 從而有。這與為冪零矩陣矛盾。證明：反證法 假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)， 使，兩邊同時右乘，得，而 得知；兩邊同時右乘，得而，得知；依次下去可得，與假設(shè)矛盾。即的主對角線上的元素全為．由引理7知 為冪零矩陣。 故 。 冪零矩陣和若爾當塊。（充分性）由的特征值全為知，的特征多項式為，由引理3得， 所以為冪零矩陣。故而，特征矩陣的不變因子為，．由的任意性得知，所有指數(shù)為的冪零矩陣的特征矩陣的不變因子是一致的，即數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。取，因為 ，有即也是冪零矩陣。證明:令是冪零矩陣， 使得，令是的相似矩陣，則存在可逆陣，使得，有．即也是冪零矩陣。當時，是冪零矩陣；當時，有。證明：設(shè)是任一階冪零矩陣， 使得，由行列式的性質(zhì)得，是退化的，不可逆。定義5. 形為的矩陣稱為若當塊，其中為復(fù)數(shù)，由若干個若當塊組成和準對角稱為若當形矩陣。顯然，階零矩陣是特殊的冪零矩陣，其冪零指數(shù)為1。在我們學到矩陣的乘法運算時曾給出了冪零矩陣的定義，但對它的介紹甚少，因此我們將加強這方面的研究與總結(jié)。關(guān)鍵詞：冪零矩陣 線性變換 逆矩陣 若爾當標準型 特征值 跡.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpoten
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鄂ICP備17016276號-1