蘇科版八級上勾股定理的逆定理同步練習(xí)含答案-wenkub.com
2025-01-07 03:23 本頁面
【正文】 則另 一艘艦艇的航行方向是北偏西 50176。； （ 2）解： ∵ DE=3， BD=4， ∴ BE= =5=CE， ∴ AC2=EC2﹣ AE2=25﹣ EA2， ∵ BC=2BD=8， ∴ 在 Rt△ BAC 中由勾股定理可得： BC2﹣ BA2=64﹣（ 5+EA） 2=AC2， ∴ 64﹣（ 5+AE） 2=25﹣ EA2，解得 AE= ． 【點評】 本題主要考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在這類問題中的應(yīng)用． 18．能夠成為直角三角形邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察表格所給出的三個數(shù) a， b， c， a＜ b＜ c． （ 1）試找出它們的共同點，并證明你的結(jié)論； （ 2）寫出當(dāng) a=17 時， b， c 的值． 3， 4， 5 32+42=52 5， 12， 13， 52+122=132 7， 24， 25 72+242=252 9， 40， 41 92+402=412 … … 17， b， c 172+b2=c2 【分析】 （ 1）根據(jù)表格找出規(guī)律再證明其成立； （ 2）把已知數(shù)據(jù)代入經(jīng)過證明成立的規(guī)律即可． 【解答】 解：（ 1）以上各組數(shù)的共同點可以從以下方面分析： ①以上各組數(shù)均滿足 a2+b2=c2； ②最小的數(shù)（ a）是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)； 第 12 頁（共 14 頁） ③最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和， 如 32=9=4+5， 52=25=12+13， 72=49=24+25， 92=81=40+41… 由以上特點我們可猜想并證明這樣一個結(jié)論： 設(shè) m 為大于 1 的奇數(shù)，將 m2 拆分為兩個連續(xù)的 整數(shù)之和，即 m2=n+（ n+1）， 則 m， n， n+1 就構(gòu)成一組簡單的勾股數(shù)， 證明： ∵ m2=n+（ n+1）（ m 為大于 1 的奇數(shù)）， ∴ m2+n2=2n+1+n2=（ n+1） 2， ∴ m， n，（ n+1）是一組勾股數(shù)； （ 2）運用以上結(jié)論，當(dāng) a=17 時， ∵ 172=289=144+145， ∴ b=144， c=145． 【點評】 本題考查了勾股數(shù)、勾股定理的逆定理；解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三邊滿足 a2+b2=c2，則三角形 ABC 是直角三角形． 19．在 △ ABC 中， c 為最長邊．當(dāng) a2+b2=c2 時， △ ABC 是直角三角形；當(dāng) a2+b2＜ c2 時， △ABC 是鈍角三角形；當(dāng) a2+b2＞ c2 時， △ ABC 是銳角三角形．若 a=2， b=4，試判斷 △ ABC的形狀（按角分），并求出對應(yīng)的 c 的取值范圍． 【分析】 分三種情況： ①△ ABC 是直角三角形； ②△ ABC 是鈍角三角形； ③△ ABC 是銳角三角形． 【解答】 解： ∵ a=2， b=4， ∴ a2+b2=22+42=20． 分三種情況： ①△ ABC 是直角三角形時， a2+b2=c2， c2=20， c=2 ； ②△ ABC 是鈍角三角形時， a2+b2＜ c2，且 a+b＞ c， 即 20＜ c2，且 6＞ c， 解得 2 ＜ c＜ 6； ③△ ABC 是銳角三角形時， a2+b2＞ c2，且 b﹣ a＜ c， 即 20＞ c2，解得﹣ 2 ＜ c＜ 2 ， ∵ c 為最長邊， ∴ c≥ 4． 故 4≤ c＜ 2 ． 【點評】 本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a， b， c 滿足 a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了三角形形狀的判斷及學(xué)生的閱讀理解能力． 20．在 △ ABC 中， BC=a， AC=b， AB=c，設(shè) c 為最長邊，當(dāng) a2+b2=c2 時， △ ABC 是直角三角形；當(dāng) a2+b2≠ c2 時，利用代數(shù)式 a2+b2 和 c2 的大小關(guān)系 ，探究 △ ABC 的形狀（按角分類）． （ 1）當(dāng) △ ABC 三邊分別為 9 時， △ ABC 為 銳角 三角形；當(dāng) △ ABC 三邊分別為 11 時， △ ABC 為 鈍角 三角形． 第 13 頁（共 14 頁） （ 2）猜想，當(dāng) a2+b2 ＞ c2 時， △ ABC 為銳角三角形；當(dāng) a2+b2 ＜ c2 時， △ ABC 為鈍角三角形． （ 3）判斷當(dāng) a=2， b=4 時， △ ABC 的形狀，并求出對應(yīng)的 c 的取值范圍． 【分析】 （ 1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為 8 時的斜邊的值，然后作出判斷即可； （ 2）根據(jù)（ 1）中的計算作出判斷即可； （ 3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三 邊求出最長邊 c 點的最大值，然后得到 c 的取值范圍，然后分情況討論即可得解． 【解答】 解：（ 1）兩直角邊分別為 8 時，斜邊 = =10， ∴△ ABC 三邊分別為 9 時， △ ABC 為銳角三角形； 當(dāng) △ ABC 三邊分別為 11 時， △ ABC 為鈍角三角形； 故答案為：銳角；鈍角； （ 2）當(dāng) a2+b2＞ c2 時， △ ABC 為銳角三角形； 當(dāng) a2+b2＜ c2 時， △ ABC 為鈍角三角形； 故答案為： ＞ ； ＜ ； （ 3） ∵ c 為最長邊， 2+4=6， ∴ 4≤ c＜ 6， a2+b2=22+42=20， ①a2+b2＞ c2，即 c2＜ 20， 0＜ c＜ 2 ， ∴ 當(dāng) 4≤ c＜ 2 時，這個三角形是銳角三角形； ②a2+b2=c2，即 c2=20， c=2 ， ∴ 當(dāng) c=2 時，這個三角形是直角三角形； ③a2+b2＜ c2，即 c2＞ 20， c＞ 2 ， ∴ 當(dāng) 2 ＜ c＜ 6 時，這個三角形是鈍角三角形． 【點評】 本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 21．在尋找馬航 MH370 航班過程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo) A、B．接到消息后，一艘艦艇以 16 海里 /時 的速度離開港口 O（如圖所示）向北偏東 40176。 AB=4， ∴ BE=AB?sin60176。 ∴∠ ADC=60176。 BC=4 ， CD=8． （ 1）求 ∠ ADC 的度數(shù)； （ 2）求四邊形 ABCD 的面積． 【分析】 （ 1）連接 BD，首先證明 △ ABD 是等邊三角形，可得 ∠ ADB=60176。 故答案為： 90． 【點評】 本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理的逆定理得出 ∠ ACB=90176。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】 解： ∵ S1=3， S2=2， S
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