【正文】 BD ＝ c2－ a2－ b2＝ O ∴ AC ⊥ BD 即 AC⊥ BD 【名師指引】 如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便 奎屯王新敞 新疆通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用。 2PF?的最大值和最小值 。 (k?3) = 0 ∴ k =311 當 C= 90?時， AC ?BC = 0，∴ ?1 + k(k?3) = 0 ∴ k = 2133? 【名師指引】 0???? ???? baba 是一個常用的結論。 解析： [證明 ]由 ? ? ? ?? ? ? 得 : 22? ? ? ?? ? ? 22( ) ( )? ? ? ?? ? ? ? 展開得 : 0????,故 ??? [例 4] 在△ ABC中， AB =(2, 3)， AC =(1, k)，且△ ABC的一個內(nèi)角為直角， 求 k值 奎屯王新敞 新疆 [解題思路 ]： 注意分情況計論 解析： 當 A = 90?時， AB ?AC = 0，∴ 2179。 [解題思路 ]： 考慮公式 cos? =| | | |abab??。 |b |，等號當且僅當 a ∥ b 時成立．這是因為 |a 178。 c 與向量 a 相乘則是與 a 共線的向量，所以一般二者是不等的．這就是說，向量的數(shù)量積是不滿足結合律的． ⑷ 若 a、 b∈ R，則 |a178。 c 是數(shù) 量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點乘定義的．同時， (a 178。 c與 a 178。 c 得 |a |178。 b =0，而不必 a =0 或 b =0 ． ⑵ 若 a、 b、 c∈ R，且 a≠ 0， 則由 ab=ac可得 b=c， 但由 a 178。 0 =0 178。 ★ 搶 分 頻 道 ★ 基礎鞏固訓練 1. （ 廣東省惠州市 2022屆高三第二次調(diào)研考試） 用心 愛心 專心 PCA BQ設平面向量 ? ? ? ?3, 5 , 2,1ab? ? ?，則 2ab??（ ） A． ? ?6,3 B． ? ?7,3 C． ? ?2,1 D． ? ?7,2 答案： B 解析： 2ab??? ? ? ? ? ?3 , 5 2 2 ,1 7, 3? ? ? ? 2. （ 廣東省深圳外國語學校 2022屆高三統(tǒng)測（數(shù)學 理）） 在 ABC△ 中， AB?c ， AC?b ．若點 D 滿足 2BD DC? ，則 AD? ( ) A． 2133?bc B． 5233?cb C． 2133?bc D． 1233?bc 答案： A 解析： 由 ? ?2A D A B A C A D? ? ?， 3 2 2AD AB AC c b? ? ? ?， 1233AD c b?? 3．已知 a=（ 1， 2）， b=（－ 3， 2），當 ka+b與 a－ 3b 平行， k為何值（ ） A 14 B － 14 C －31 D 31 答案： C解析： 由已知 a=（ 1， 2）， b=（－ 3， 2）， 得 a－ 3b=（ 10，－ 4）， ka＋ b=（ k－ 3， 2k＋ 2）． 因（ ka＋ b）∥（ a－ 3b）， 故 10（ 2k＋ 2）＋ 4（ k－ 3） =0． 得 k=－31． 4．（ 廣東省黃岐高級中學 2022屆高三月考） 如圖 ,線段 AB 與 CD 互相平分 ,則 BD 可以表示為 ( ) A . AB CD? B. 1122AB CD?? C. 1 ()2 AB CD? D. ()AB CD?? 答案： B 線段 AB 與 CD 互相平分 ，所以 BD = 1 ()2 CD AB? 5． 如圖，設 P、 Q為 △ABC 內(nèi)的兩點，且 2155AP AB AC??， AQ ＝ 23 AB ＋ 14 AC ，則 △ ABP的面積與 △ ABQ的面積之比為 ( ) A． 15 B． 45 C． 14 D． 13 DCBA 用心 愛心 專心 PMNCA BQ答案： B [解析 ]如圖 ,設 25AM AB? , 15AN AC? 則 AP AM AN??由平行四邊形法則知NP∥ AB，所以 ABP ANABC AC? ??=15 ，同理可得 14ABQABC? ?? 。 2 x?(x)=0 ∴ x=177。 正 解 ：因為 a 的 模等于 5，所以與 a 平行的單位向量是 ? 51 a ， 即 (35 ，－ 45 )或 (－ 35 ， 45 ) ★ 熱 點 考 點 題 型 探 析 ★ 考點一： 平面向量基本定 理 題型 1. 利用一組基底表示平面內(nèi)的任一向量 [例 1] 在△ OAB中， OBODOAOC 21,41 ?? ， AD與 BC交于點 M，設 OA =a ，OB =b ，用 a ,b 表示 OM . [解題思路 ]： 若 21,ee?? 是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用 21,ee?? 線性表示 .本例中向量 a ,b 可作基底 ,故可設 OM =ma +nb ,為求實數(shù) m,n,需 利用向量 AM 與 AD 共線 ,向量 CM 與 CB 共線 ,建立關于 m,n的兩個方程 . 解析： 設 OM =ma +nb ， 則 ( 1)AM m a nb? ? ?, 12AD a b?? ? ∵點 A、 M、 D共線，∴ AM 與 AD 共線， ∴ nm ??? ，∴ m+2n=1. ① 而 CM OM OC?? 1()4m a nb? ? ? ， 14CB a b?? ? ∵ C、 M、 B共線，∴ CM 與 CB 共線， 用心 愛心 專心 A B C Q R P B A C P N M ∴14141nm ??? ，∴ 4m+n=1. ② 聯(lián)立①②解得 :m=71 ， n=73 ，∴ 1377OM a b?? [例 2] 已知 P 是 ABC? 所在平面內(nèi)一點 ,AP 的中點為 Q ,BQ 的中點為R ,CR 的中點為 S .證明 :只有唯一的一點 P 使得 S 與 P 重合 . [解題思路 ]： 要證滿足條件的點是唯一的 ,只需證明向量 AP 可用一組基底唯一表示 . 解析： [證明 ]設 ,AB a AC b??， 則 1 1 1( ) [ ( ) ]2 2 2A S A R A C A B A Q A C? ? ? ? ? 1 1 14 2 8AB AC AP? ? ?, 由題設知 :AS AP? 7 1 18 4 2AP AB AC? ? ? 2477AP a b? ? ? 由于 a ,b 是確定的 向量，所以 AP 是唯一的一個向量，即 ABC? 所在平面內(nèi) 只有唯一的一點 P 使得 S 與 P 重合 . 【名師指引】解決此類類問題的關鍵在于以一組不共線的向量主基底，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把其它相關的向量用這一組基底表示出來，再利用向量相等建立方程，從而解出相應的值。 求證： 17371 ?? ??。 5．已知： 212121 2CD ,BC ),(3 eeeeeeAB ?????? ，則下列關系一定成立的是（ ） A、 A， B， C三點共線 B、 A， B， D三點共線 C、 C， A， D三點共線 D、 B， C， D三點共線 用心 愛心 專心 A B C D 答案： C 解析： 2AC CD? ，所以 C， A， D三點共線 6．（ 廣東北江中學 2022高三統(tǒng)測） 若 | | | |OA OB OA OB? ? ?則向量 ,OA OB 的關系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．不確定 答案： C 提示： | | | |O A O B O A O B??與 分別表 示平行四邊形的兩條對角線，它們相等，即說明四邊形 ABCD為矩形。 （ 6）錯。（想一想：你能舉出反例嗎？又若 ???0b 時，此結論成立嗎？） （ 4）對。 （ 2）錯。 （ ） （ 4）向量 ?? ba與 共線，則 ??b//a （ ） （ 5）向量 ?? CD//AB ，則 CD//AB 。 證：如圖：∵ OCDOOBAOAB ???? DC , 又由已 知 OBOCAO ?? DO , ∴ DCAB? ，故 AB與 DC 平行且相等，所以 ABCD是平行四邊形。②得３ ｍ －９ ｎ ＝３ ｂ ③ ①－③得 11ｎ ＝ ａ －３ ｂ . ∴ ｎ ＝ 111 ａ － 113 ｂ ④ 將④代入②有： ｍ ＝ ｂ ＋３ ｎ ＝ 113 ａ ＋ 112 ｂ 4． 如圖，在Δ ABC中， D、 E為邊 AB 的兩個三等分點， CA→ =3a， CB→ =2b，求 CD→ ， CE→ ． 解析： AB→ =AC→ +CB→ = － 3a+2b， 因 D、 E為 AB→ 的兩個三等分點， 故 AD→ =31 AB→ =－ a＋ 32 b =DE→ ， CD→ =CA→ ＋ AD→ =3a－ a＋ 32 b =2a＋ 32 b， CE→ =CD→ ＋ DE→ =2a＋ 32 b－ a＋ 32 b=a＋ 34 b． 考點三 : 向量數(shù)乘運算及其幾何意義 題型 1: 三點共線問題 [例 4] 設 21,ee 是不共線的向量 ,已知向量 212121 2,3,2 eeCDeeCBekeAB ?????? ,若A,B,D三點共線 ,求 k的值 A B C D E B C A P 512 用心 愛心 專心 [解題思路 ]： 證明存在實數(shù) ? ，使得 BDAB ?? 解析： 21 4 eeCBCDBD ???? , 使 BDAB ?? )4(2 2121 eeeke ???? ? 得 84,2 ?????? kk ?? [例 5] 已知 A、 B、 C、 P 為平面內(nèi)四點，求證： A、 B、 C 三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù) m、 n，使 PC→ =mPA→ +nPB→ ，且 m+n=1． [解題思路 ]： A、 B、 C 三點共線的一個充要條 件是存在 實數(shù)λ，使得 AC→ =λ AB→ ．很顯然，題設條件中向量表達式并未涉及 AC→ 、 AB→ ，對此，我們不妨利用 PC→ =PA→ ＋ AC→ 來轉(zhuǎn)化，以便進一步分析求證． 解析： 證明 充分性，由 PC→ =mPA→ ＋ nPB→ ， m＋ n=1， 得 PA→ ＋ AC→ =mPA→ ＋ n（ PA→ ＋ AB→ ） =（ m＋ n） PA→ ＋ nAB→ =PA→ ＋ nAB→ ， ∴ AC→ =nAB→ ． ∴ A、 B、 C三點共線． 必要性 :由 A、 B、 C 三點共線知，存在常數(shù)λ，使得 AC→ =λ AB→ ， 即 AP→ +PC→ =λ（ AP→ +PB→ ）． PC→ =（λ－ 1） AP→ ＋λ PB→ =（ 1－λ） PA→ ＋λ PB→ ， m=1－λ， n=λ， m＋ n=1， PC→ =mPA→ ＋ nPB→ ． 【名師指引】 逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強化目標意識． 這是一個重要結論，要牢記。 (8) 不正確 , 如圖 DABCCDB ?? ,A （ 9）不正確，當 ba ??// ，且方向相反時，即使 |||| ba ??? ，也不能得到 ba ??? ； 【名師指引】 對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關命題。 2) 重要定理： 向量共線定理：向量 b與非零向量 a 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) λ ，使得 b=λ a，即 b∥ a? b=λ a（ a≠ 0） . ★ 重 難 點 突 破 ★ ： 理解向量及與向量相關的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則． ： 掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算． ： . 問題 1: 相等向量與平行向量的區(qū)別 答案：向量平行是向量相等的必要條件。 問題 2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別 答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。 【新題導練】 1． 判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由 .